ABC, права през А, P(BNC) > P(ABC)

[yasen]

Даден е [tex]\Delta[/tex] ABC с ъглополовяща АМ (М [tex]\in[/tex] BC). През т. А е построена права l, перпендикулярна на АМ. Докажете, че ако N е произволна точка от l, то P[tex]\Delta[/tex] BNC > P[tex]\Delta[/tex] ABC.

[Knowledge Greedy]

Да построим още една права [tex]n[/tex], която минава през точка [tex]B[/tex] и е успоредна на ъглополовящата [tex]AM[/tex]. Следователно [tex]n\bot l[/tex].

Неравенство на триъгълника.PNG (9.71 KiB) Прегледано 187 пъти

Върху тази права да отбележим точка [tex]B_1[/tex], при което [tex]n[/tex] да е симетрала на [tex]BB_1[/tex]
(това означава, че [tex]B_1N=BN[/tex] и [tex]B_1B\bot AN[/tex]).
Поради това, че [tex]AM[/tex] е ъглополовяща, то е явно че точката [tex]B_1[/tex] е върху правата [tex]AC[/tex] . И тъй като [tex]B_1A=AB[/tex], то [tex]CB_1=CA+AB_1[/tex] [tex](\ast )[/tex]
Да приложим сега неравенството на триъгълника за [tex]\Delta CNB_1:[/tex]
[tex]CN+NB_1>CB_1[/tex]
Следователно [tex]CN+NB_1>CA+AB_1[/tex]
от [tex](\ast )[/tex] по-горе.
Остава да добавим [tex]BC[/tex] към двете страни на неравенството и получаваме
[tex]BC+CN+NB>BC+CA+AB_1[/tex] ( тук заместихме [tex]NB_1[/tex] с равната и [tex]NB[/tex])
- неравенството между периметрите [tex]P_{\Delta BCN}>P_{\Delta ABC}[/tex], което трябваше да докажем.