Геометрична задача, зад. 24 от примерен тест

[bubata19]

Моля за помощ за следната задача:

За ъглите при върховете А, B и C на [tex]\Delta[/tex] ABC е изпълнено [tex]\alpha[/tex] : [tex]\beta[/tex] : [tex]\gamma[/tex] = 13:2:3. Ако симетралата на AC пресича BC в точка М, симетралата на AB пресича BC в точка N и симетралата на AC пресича симетралата на AB в точка О, намерете големината на [tex]\angle[/tex] АОМ.

Прилагам снимка на чертежа ми. Намерих ъглите на триъгълника ABC, които са [tex]\angle[/tex]A=130, [tex]\angle[/tex]B=20 и [tex]\angle[/tex]C=30. От чертежа се вижда и градусната мярка на някои други ъгли. Намерих, че [tex]\angle[/tex] ROP = 50[tex]^\circ[/tex], но [tex]\angle[/tex] АОР не мога да намеря. Построих успоредна права на правата ВС (на чертежа на черновата), за да мога чрез кръстни, прилежащи ъгли да намеря решение, но и тогава не успях да намеря търсения ъгъл. Свързах също така върха О с точка В и С, получи се страхотна летяща чиния , но и това не ми помогна.

P1030479.JPG (1.14 MiB) Прегледано 268 пъти

Някакви идеи какво пропускам?

[math10.com]

Почти си я решила.Всички задачи от симетрала се решават с теорема свойство:
"Всяка точка от симетралата се намира на равни разстояния от краищата на отсечката"
[tex]OP[/tex] е симетрала [tex]\Right AO=CO[/tex]
[tex]OR[/tex] е симетрала [tex]\Right AO=BO[/tex]
[tex]\Right BO=CO \Right \triangle BOC[/tex] е равнобедрен
[tex]\angle ACO=\angle CAO ; \angle ABO=\angle BAO \Right \angle ACO+\angle ABO=130^\circ \Right \angle BCO=\angle CBO=\frac{1}{2}(130^\circ -50^\circ )=40^\circ[/tex]
[tex]\Right \angle ACO=30^\circ +40^\circ =70^\circ =\angle CAO \Right x=40^\circ ; \angle APO=20^\circ[/tex]

[bubata19]

М да.... варианта с летящата чиния....
Всичко ми стана ясно, много благодаря!!! Свойствата на симетралата ги знам (АО=СО (1)) и (АО=ВО (2)), проблема ми дойде от там, че въобще не се светнах, че от (1) и (2) следва че, СО=ВО. От там нататък всичко се намества.
Много благодаря за бързия отговор!

Почти си я решила.Всички задачи от симетрала се решават с теорема свойство:
"Всяка точка от симетралата се намира на равни разстояния от краищата на отсечката"
[tex]OP[/tex] е симетрала [tex]\Right AO=CO[/tex]
[tex]OR[/tex] е симетрала [tex]\Right AO=BO[/tex]
[tex]\Right BO=CO \Right \triangle BOC[/tex] е равнобедрен
[tex]\angle ACO=\angle CAO ; \angle ABO=\angle BAO \Right \angle ACO+\angle ABO=130^\circ \Right \angle BCO=\angle CBO=\frac{1}{2}(130^\circ -50^\circ )=40^\circ[/tex]
[tex]\Right \angle ACO=30^\circ +40^\circ =70^\circ =\angle CAO \Right x=40^\circ ; \angle APO=20^\circ[/tex]