Разстояние

[Гост]

Предните гуми на един автомобил се износват при изминати 26000 км, а задните -при 39 000 км. Колко най-много километри може да измине колата с 4 нови гуми!??

[pal702004]

Приеми, че една гума има "ресурс" 78000 единици - НОК(26000,39000).
И като предна и се отнема по 3 единици на км., а като задна - по 2 единици на км. от ресурса.
Номера е гумите в един момент да се сменят - предните да отидат отзад, задните-отпред. В кой момент?

[Knowledge Greedy]

Нека всяка от четирите гуми прави пробег [tex]x[/tex] km като предна и [tex]y[/tex] km като задна. Да оценим износването. То е [tex]\frac{x}{26000 }.100\%[/tex] като предна и [tex]\frac{y}{39000 }.100\%[/tex] като задна. Общо [tex]100\%[/tex], ако искаме пробегът да е максимален.
Следователно трябва да решим следната задача на линейното оптимиране.

Да се намери максималната стойност на функцията [tex]L(x, \,\ y)=x+y[/tex] при следните условия
[tex]\begin{array}{|l}
\frac{x}{26000 }+\frac{y}{39000 }\le 1 \\
x>0\\
y>0\\
y\le 26000
\end{array}[/tex]

Максималният пробег.PNG

Явно максималната стойност, която може да достигне сборът [tex]L(x, \,\ y)[/tex] е не по-голяма от [tex]M=34666,667[/tex] km за наредени двойки [tex](x; \,\ y)[/tex] от изпъкналата област (синята).
Също така е ясно, че всяка гума трябва да се движи като задна в продължение на 15600 km,
т.е. [tex]x=15600[/tex]km и [tex]y=15600[/tex] km

Остава да посочим начин това да се осъществи. Номерираме гумите с 1, 2, 3 и 4.
Шест пъти сменяме гумите на предния мост така: 1 и 2, 1 и 3, 1 и 4, 2 и 3, 2 и 4, 3 и 4 (всеки път останалите две са на задния мост). Като всяка смяна извършваме след като двойката гуми е изминала 5200 km. Така всяка гума изминава 15600 km като предна и също толкова - като задна.

[pal702004]

Knowledge Greedy - всичко е така, но не виждам особен смисъл гумите да се въртят 6 пъти. Една смяна на половина път и готово. (друг в въпроса, ако гумите бяха 5 или повече).
Пробега на колата е равен на пробега на гумата с най-много километри като предна. И тъй като няма начин всички гуми да са били по-малко от [tex]\frac 1 2[/tex] от пътя предни, то оптимално е смяната да се извърши на половината път (колкото и да е той - сега ще го сметнем). x километра като предна и x километра като задна.

[tex]2x+3x=78000,\;x=15600[/tex]

Значи, на 15600 километър смяна на предни-задни. Така колата ще върви 31200 км.

[Knowledge Greedy]

О, да Отдавна не бях писал толкова много излишни неща. В този смисъл, при въртенето на гумите пропуснах да кажа и как да се обръщат за равномерно износване на протектора от лявата и дясната страна... Тук е сработил рефлексът - спомени на любителя шофьор. А и при зареждането от "запази черновата" не излезе графиката - апотеоз на епичното изследване

Максималният пробег.PNG (9 KiB) Прегледано 870 пъти

В крайна сметка най-същественото го каза pal702004

... Пробегът на колата е равен на пробега на гумата с най-много километри като предна. И тъй като няма начин всички гуми да са били по-малко от [tex]\frac 1 2[/tex] от пътя предни, то оптимално е смяната да се извърши на половината път (колкото и да е той - ...

На практика се оказа достатъчно да решим уравнението [tex]\frac{x}{26000}+\frac{y}{39000}=1[/tex] при [tex]y=x[/tex].