Задача за успоредник

[Гост]

Даден е успоредникът АВСД, в който ъгъл ВАД <90 r ДН е височина към АВ. Симетралата на страната АДпресича страната АВ в точка Р и продължението на височината ДН-в точка М, така, че ДМ =2.НМ и АВ= 2.АР
Намерете ъглите на успоредника и докажете, че ДВе перпендикулярна на АД. Ако ДН+ДВ =m изразете чрез m периметрите на АБСД на тр. АРД

[s.karakoleva]

Нека [tex]\angle А=\alpha.[/tex]
Свързваме D с P. Нека [tex]DH=HM=x, AP=PB=y, Q=s_{AD}\cup AD.[/tex]
[tex]\triangle APD[/tex] е равнобедрен [tex](P\in s_{AD})\Rightarrow \angle ADP=\alpha, AP=PD\qquad (1)[/tex]
[tex]AP=PD=PB\Rightarrow DP[/tex]-медиана в [tex]\triangle ABD\Rightarrow\triangle ABD[/tex]-правоъгълен.
H е среда на [tex]DM[/tex] и [tex]DH\bot PB\Rightarrow PH[/tex]- симетрала на [tex]DM \Rightarrow PD=PM\qquad (2)[/tex]

(1) и (2) [tex]\Rightarrow AP=PM.[/tex] Оттук лесно се доказва, че [tex]\triangle APQ\cong \triangle MPH[/tex] по Четвърти признак. Следователно, [tex]\angle PMD=\angle PDM=\angle ADP=\angle PDH=\alpha.[/tex]

[tex]PMBD[/tex]- ромб[tex]\Rightarrow DB=PM=AD=y=\frac12 AB\Rightarrow \angle \alpha=30^\circ, \angle HDB=\angle HDP=\angle ADP=30^\circ.[/tex]

Ъглите на ABCD са [tex]30^\circ, 150^\circ, 30^\circ, 150^\circ.[/tex]

Нека [tex]DH=h \Rightarrow AD=2h. DB=y[/tex] [tex],AB=2y, AC=2h, HD+DB=m=h+y.[/tex]
[tex]P_{ABCD}=2(AB+ AC)=2(2y+2h)=4(y+h)=4m.[/tex]