Интересна задача

[Mathemagician]

Днеска попаднах на една интересна задача,
?АВС е остроъгълен ?
СР е медиана в ?-ка и Р принадлежи на АВ.
О е произволна точка, която принадлежи на отсечката СР
АО пресича ВС в точката К.
ВО пресича АС в точката Н.
Да се докаже че SAOH= S BOK.
Приятно решаване!

[amsara]

Ми задачката наистина е интересна, но аз лично не можах да се сетя , как да реша една част от нея с познанията си от 7 клас.Добре че от форума понаучих туй-онуй за подобие и с негова помощ уж реших въпросната част.Ще съм много благодарна, ако някой сподели, какво от познанията на седмокласник може да замени частта с подобието.Ето го иначе моето решение.

Разглеждаме ?APC и ?PBC
AP=BP медиана
CH e височина и за двата
Тогава S наAPC=S на BPC=S1=a.H/2 където а е повинката от страната АВ.
По същия начин доказваме равните лица и на ?АРД и ?ВРО(S2).От горните две равенства в лицата излиза, че
S на AOC= S на BOC=S1-S2
S на AOC= S на BOC=OC.h1/2=OC.h2/2 =S3 откъдето следва, че h1=h2, който са съответно височините от Н и К към ОС в двата триъгълника АОС и ВОС .
И тук идва времето на подобието, без чиято помощ не успях да се справя.
Спускаме НL и KL като височини в ? НОС и ? КОС към страната ОС.Означаваче ги с h3 и h4.
От подобия между h1 и h2, e h3 и h4 езкарах че h3=h4 Именно тук е бозата и объркването ми, тъй като не съм сигурна въобще и за верността на подобието.но ако предположим, че е вярно, то
OC.h3/2=OC.h4/2
S?HOC=S?KOC=S4
S?AOH=S?BOK=S3-S4
Гложди ме обаче мисълта, че има решение без това пусто подобие, ама не се сещам.. Чакам помощ в тази насока.

[R Flavius]

Задачата е хубава. Не мога да се сетя за решение, което да използва само седмокласни знания (сигурно има такова), но ще предложа една идея , която използва главно лица на фигури. Ще използваме, че HK || AB, според мен това се доказва най-лесно с теоремата на Чева (9 клас). Ако НК пресича СО в т.Т, то Т ще е среда на НК. тогава S ?CHT=S ?CTK и S ?OHT=S ?OKT от свойството, че медианата дели триъгълника на два равнолицеви триъгълника. Посъщата логика и S?APO=S?BPO. Така остава само да извадим от лицето на АРС лицата на ОНТ и СНТ, същата операция прилагаме и за ?ВРС и получаваме едни и същи лица. Извинявам се, че намесих и Чева, но това ми дойде на ум. Съзнавам , че тази теорема не е известна на един седмокласник, но се надявам да ми простите Ще ми е интересно да видя решение , което използва само седмокласни знания (ако такова е условието на задачата).

[amsara]

Ми предполагам, че задачата трябва да се реши с познанията на седмокласник, про положение че е в графа 7 клас.
На мен лично ще ми е любопитно да разбера само онази част от решението, в която се доказва със знанията на седмокласник равнолицевост на най-горните два триъгълника-НОС и КОС.Тогава в решението ,което предложих по-горе, всичко ще е точно.