Ъглополовящи

[Гост]

В триъгълника DEF вътрешните ъглополовящи на ъглите с върхове E и F се пресичат в точка Н, а външните ъглополовящи нв ъглите със същите върхове се пресичат в точка G. Намерете големината на ъгъл EDF в градуси, ако ъгъл EGF =70 °

[mail_dinko]

Първо си правиш чертеж (качвам моя). Слагаш си означения за мерките на ъглите. После всеки от външните ъгли изразяваш чрез двата му несъседни.
[tex]\angle KFE = \gamma + \beta \Rightarrow \angle KFG = \angle GFE = \frac {\gamma + \beta}{2}[/tex]
[tex]\angle PEF = \gamma + \alpha \Rightarrow \angle PEG = \angle GEF = \frac {\gamma + \alpha}{2}[/tex]
По условие е дадено [tex]\angle FGE = \theta = 70 ^\circ[/tex]
От сбора на ъгли за [tex]\Delta FEG \Rightarrow \frac {\gamma + \beta}{2} + \frac {\gamma + \alpha}{2} + \theta = 180 ^\circ \Leftrightarrow \frac {\gamma + \beta}{2} + \frac {\gamma + \alpha}{2} = 180 ^\circ - \theta[/tex]
[tex]\frac {\gamma + \beta}{2} + \frac {\gamma + \alpha}{2} = 180 ^\circ - 70^\circ[/tex]
[tex]\frac {\gamma + \beta}{2} + \frac {\gamma + \alpha}{2} = 110^\circ |.2[/tex]
[tex]\gamma + \fbox {\beta + \gamma + \alpha }= 220 ^\circ[/tex]
От сбора на ъгли за [tex]\Delta DEF \Rightarrow \alpha + \beta + \gamma = 180 ^\circ[/tex]
Като заместим в заграждението се получава
[tex]\gamma + 180 ^\circ = 220 ^\circ[/tex]
[tex]\fbox {\gamma = 40 ^\circ }[/tex]