задача от ЕК 2015

[babila]

29.Мария дели числото 2015 последователно с 1, с 2, с 3, с 4,…, с 1000 включително и записваостатъците от всяко деление. Кой е най-големият от тези остатъци?
A)15 B)215 C)671 D)1007 E)друга стойност
Моля за решение и благодаря.

[pal702004]

При делене на $n$ имаме уравнение $2015=an+b$ с условия:
$b \le n-1$
$a \ge 2$ (тъй като делителят $n \le 1000,\;a=\left\lfloor\frac{2015}{n}\right\rfloor \ge 2$)

Като поставим в равенството граничните условия получаваме $2015=2n+(n-1),\; n=672$
$2015=2\cdot 672+671$
Лесно се доказва, че $671$ е най-големият остатък, с предполагане на обратното: $a \ge 2$ и ако $b>671 \Rightarrow n>672 \Rightarrow an+b>2015$

[Гост]

Много благодаря на pal702004 !