Успоредник и квадрати

[FlikoU]

Даден е успоредник ABCD. Вън от него са построени квадратите ABEF и BCKM. Да се докаже, че отсечките DK и DF са равни и перпендикулярни.

[amsara]

Ще ти опиша решението без чертеж, ако не се ориентираш - ще пусна чертеж допълнително.
Означаваме AB=CD=a и BC=AD=b DAB=DCB=? ABC=ADC=?
След като построим двата квадрата, съответно те са със страни a и b.
Означаваме ъгъл DAB=DCB=?
ABC=ADC=?
Тогава DAF=DCK=90+?
Разглеждаме триъгълници AFD и DCK.те са еднакви по първи признак, тъй като:
AF=DC=a
AD=CK=b
DAF=DCK=90+?
От еднаквостта им следва, че FD=DK
Сега остава да докажем, че двете отсечки са перпендикулярни.
Означаваме ъгъл AFD=CDK=x
ъгъл ADF=CKD=y
От триъгълник DAF следва, че x+y=180-(90+?)=90-?
търсеният от нас ъгъл FDK=?-(x+y)=?-(90-?)=?+?-90
Какво знаем за ъглите в успоредника.
2?+2?=360
?+?=180
Заместваме FDK=?+?-90=180-90=90°
Следователно двете отсечки са перпендикулярни.