Черноризец храбър 2013

[Гост]

1.Ако x + 2y, y + 2z, z + 2x са прости числа,чиет произведение е 2013, то на колко е равна сумата x + y + z?
37,29,25,19 или 16
2.Точката I е вътрешна за триъгълник със страни 3,4 и 5 см.Ако I е равноотдалечена от страните,то на колко милиметра е от тях?
10,11,12,13 или никое от тези
3.Сладоледен щанд има големи количества от 6 вида сладолед.Пипи,Томи и Аника искат да купят различни сладоледени фуниики (всеки по една),всяка с по две топки сладолед(от един вид или от два различни вида).По колко начина може да стане това?
7890,7980,8790,8970 или 9780
4.Колко най-малко различни естествени числа,ненадвишаващи 100,трябвада се поръчат,за да е сигурно,че в доставката ще има поне две взаимно прости?
10,11,50,90 или никое от тези
5.В безкрайна дроб А = 13,3973... всяка цифра след десетичната запетая е цифрата на единиците на предхождащите я две цифри.Кое от смесените числа е равно на А?
13 3973/9999 ; 13 39731/99999 ; 13 397313/999999 ; 13 3973133/9999999 или никое от тези
6.Кое от числата A)2011 Б)2012 Б)2013 В)2014 няма кратно в редицата 4444,44444,444444,.......? Д)всяко има кратно

[pal702004]

Защо публикувате всички задачи от състезанието, още повече в раздел "Домашни"?
Коя по-точно задача ви интересува - ще я разнищим. На мен само четвърта ми е интересна. (по-точно строгото доказателство, че 51 числа са достатъчни).

5.В безкрайна дроб А = 13,3973... всяка цифра след десетичната запетая е цифрата на единиците на предхождащите я две цифри.Кое от смесените числа е равно на А?

Може би така:
5.В безкрайна дроб А = 13,3973... всяка цифра след десетичната запетая е цифрата на единиците на произведението на предхождащите я две цифри.Кое от смесените числа е равно на А?

[Гост]

Простете за грешката в задача 5.Иначе това са лест задачи от 25,които не мога да реша.Съжалявам,че поствам в "домашни",но това е единствената възможност за писане без регистрация.Иначе всички от шестте задачи ме интересуват.Благодаря.

[Гост]

Простете за грешката в задача 5.Иначе това са лест задачи от 25,които не мога да реша.Съжалявам,че поствам в "домашни",но това е единствената възможност за писане без регистрация.Иначе всички от шестте задачи ме интересуват.Благодаря.

Шест*

[pal702004]

Шеста задача:
Всички от изброените числа имат кратно в редицата.
Всяко число, $n$ взаимнопросто с 10, има кратно в редицата 1,11,111,....
Остатъците, които дават числата от тази редица при делене на $n$ са в интервала $[0;n-1]$
Така че, по принципа да Дирихле, между $n$ последователни члена от редицата ще има поне два, имащи един и същ остатък.
И следователно разликата на тези два члена се дели на $n$. Разликата им е число от вида $1111...1000...0$
И понеже $n$ е взаимнопросто с 10, то числото, образивано само от единиците, се дели на $n$.

Числата в нашата редица имат вид $4\cdot 111....$
Никое от изброените числа не се дели на 5 или на 8...

[Добромир Глухаров]

$5.)A=13+0,(397313)=13\frac{397\ 313}{999\ 999}$

[Добромир Глухаров]

$3.)$ В една фунийка сладоледът може да бъде - първа топка от първи вид, комбинирана с втора топка от първи, втори, трети.. шести вид, първа топка от втори вид плюс втора топка от втори, трети... шести вид и т. н. или общо 6+5+4+3+2+1 различни фунийки сладолед. Пипи може да избира от $1+2+3+4+5+6=1+6+2+5+3+4=7+7+7=21$ вида сладолед. Томи може да избира от същите видове без този, който е избрала Пипи - $21-1=20$ вида, Аника - от $21$ вида без тези, които са избрали Пипи и Томи - $21-2=19$ вида. За всеки избор, който направи Пипи, Томи ще направи един от своите, а за всяка комбинация от техни избори, Аника ще направи един от своите. Общо възможните избори са $21.20.19=20.(20+1).(20-1)=20.(400-1)=20.400-20=8000-20=7980$

[Добромир Глухаров]

$1.)2013=3.11.61$

$\begin{array}{|l}x+2y=3\\y+2z=11\\z+2x=61\end{array}$

Събираме левите и десни страни на трите уравнения: $x+2y+y+2z+z+2x=75\Rightarrow 3x+3y+3z=75\Rightarrow 3(x+y+z)=75\Rightarrow x+y+z=25$

[Добромир Глухаров]

$2.)$ Триъгълникът е Питагоров, $I$ е центърът на вписаната окръжност, разстоянията до страните са радиусът на тази окръжност.

Черноризец храбър.png (21.71 KiB) Прегледано 329 пъти

Използваме свойството на равните допирателни. $p+r=p+(p-1)=2p-1=3\Rightarrow p=2\Rightarrow r=3-p=1$

Отг.: $10 mm$

[Добромир Глухаров]

$4.)$ Ако поръчаме $50$ числа, може да се случи всички да са четни, т.е. никои две от тях да не са взаимно прости. Петдесет и първото ще бъде нечетно, следователно взаимно просто с две. Може би трябва да се разсъждава още, но аз съм дотук. Благодаря на pal702004 за насоката.

[pal702004]

За четвърта задача. Имаме два варианта всички двойки числа от извадката да имат общ делител:
1) Всички числа имат общ прост делител - тогава всичко е ясно - макс. 50 четни числа.
Интересува ни вторият вариант.
При него в извадката не може да присъства числото 1 (взаимнопросто с всички), просто число или степен на просто число. (защото всички останали трябва да се делят на него, а това е вариант 1). Тоест, всички числа трябва да имат поне два различни прости делителя.
Под записа $(p_1,p_2)$ ще разбираме числата, имащи точно 2 прости делителя, тоест, числата от вида $p_1^{a_1}\cdot p_2^{s_2}$
Съществуват няколко числа (в интервала $[1;100]$ Имащи 3 прости делителя:
$(2,3,5) - 30,60,90$ - 3 числа.
$(2,3,7) - 42,84$ - 2 числа.
$(2,3,11) - 66$ - 1 число.
$(2,3,13) - 78$ - 1 число.
$(2,5,7) - 70$ - 1 число.
Ако не съм пропуснал нещо, 8 числа могат да имат 3 прости делителя.
Всички останали в извадката трябва да имат точно два прости делителя. Te могат да се разделят в не-повече от три групи (с условието между тях да има различни общи делители):
$(p_i,p_j);(p_j;p_k);(p_k,p_i)$ Естествено, максимален брой се достига с най-малките прости - $2,3,5$.

$(2,3) - 6,12,24,48,96,18,36,72,54$ - 9 числа.
$(3,5) - 15,45,75$ - 3 числа.
$(2,5) - 10,20,40,80,50,100$ - 6 числа.

Или, най-много 26 числа. И да съм пропуснал нещо, далеч е от 51.

[Гост]

Благодаря ви много!Сега вече ги разбрах!