Геометрични задачи 7 клас

[Гост]

1 зад. В триъгълник ABC AC = BC=10 см. Точкa P принадлежи на AB и разстоянията от тази точка до бедрата на триъгълника са съответно 5 см и 3 см. Да се намерят лицето на триъгълник ABC и височината към бедрото на триъгълника.

2 зад. В равнобедрения триъгълник ABC, точките M и N лежат съответно върху бедрата AC и BC, като AM=BN. Да се докаже, че AN=BM и триъгълник ANC еднакъв на триъгълник BMC.

3 зад. В триъгълник ABC (AC=BC), ъгъл ACB=70 градуса. На продължението на BC е взета точка M така, че BM=2 BC (т. C е между B и М). Намерете ъглите на триъгълник ABM.

4 зад. В равнобедрен триъгълник ABC AB е основа. На продължението на на бедрото AC е взета точка M така, че CM=CA (т.C е между A и M). Да се докаже, че AB перпендикулярна на BM.

5 зад. Върху бедрата на AC и BC на равнобедрения триъгълник ABC са взети точките M и N така, че CM=CN. Ако AN пресича BM в точка О, докажете, че: MN // AB ; триъгълник ABO е равнобедрен ; триъгълник MNO е равнобедрен.

6 зад. Даден е триъгълник ABC, в който AB=BC=8 см и AB=6 см. Точките M и N лежат съответно върху AC и BC, като CM=CN=4 см и AN=7 см. Намерете периметъра на триъгълник ABM и триъгълник BCM.

7 зад. Докажете, че ако ъглополовящата на външен ъгъл на триъгълник е успоредна на страна на триъгълника, то този триъгълник е равнобедрен.

8 зад. Даден е триъгълник ABC, в който AB=BC=AC. Върху страната му AB са взети точки M и N така, че AM=BN. Да се намерят ъглите на триъгълник MNC, ако ъгъл ACM : ъгъл MCN= 1:4.

9 зад. В равнобедрения триъгълник ABC (AC=BC) ъглополовящите на ъглите при основата се пресичат в точка O. Да се докаже, че триъгълник ABC е равностранен тогава и само тогава, когато ъгъл AOB=120 градуса.

[Nathi123]

1.зад. АС = ВС = 10 см; Р е от АВ и [tex]PM\bot BC ; PN\bot AC PM=3 cm; PN = 5 cm \Rightarrow S_{BCP} = \frac{1}{2}BC.PM=15 см^{2} ; S_{ACP }=\frac{1}{2}AC.PN=25 см^{2} \Rightarrow S_{ABC }= S_{ACP } + S_{BCP} = 40 см^{2}[/tex].
[tex]S_{ABC }=40=\frac{1}{2}BC.AA_{1 }; AA_{1 }\bot BC\Rightarrow AA_{1 } = 8[/tex] cм.

2. зад. AM = BN ;АС = ВС ( по условие ) [tex]\Rightarrow \angle CAB=\angle ABC = \alpha ; AB = AB \Rightarrow \Delta ABM \cong \Delta ABN[/tex] по І-ви признак.
[tex]\Rightarrow AN = BM \Rightarrow \Delta ANC \cong \Delta BMC ( AN = BM; AC = BC ; \angle ACN = \angle BCM=\gamma)[/tex] по І-ви признак.

[Гост]

1 зад. В триъгълник ABC AC = BC=10 см. Точкa P принадлежи на AB и разстоянията от тази точка до бедрата на триъгълника са съответно 5 см и 3 см. Да се намерят лицето на триъгълник ABC и височината към бедрото на триъгълника.

2 зад. В равнобедрения триъгълник ABC, точките M и N лежат съответно върху бедрата AC и BC, като AM=BN. Да се докаже, че AN=BM и триъгълник ANC еднакъв на триъгълник BMC.

3 зад. В триъгълник ABC (AC=BC), ъгъл ACB=70 градуса. На продължението на BC е взета точка M така, че BM=2 BC (т. C е между B и М). Намерете ъглите на триъгълник ABM.

4 зад. В равнобедрен триъгълник ABC AB е основа. На продължението на на бедрото AC е взета точка M така, че CM=CA (т.C е между A и M). Да се докаже, че AB перпендикулярна на BM.

5 зад. Върху бедрата на AC и BC на равнобедрения триъгълник ABC са взети точките M и N така, че CM=CN. Ако AN пресича BM в точка О, докажете, че: MN // AB ; триъгълник ABO е равнобедрен ; триъгълник MNO е равнобедрен.

6 зад. Даден е триъгълник ABC, в който AB=BC=8 см и AB=6 см. Точките M и N лежат съответно върху AC и BC, като CM=CN=4 см и AN=7 см. Намерете периметъра на триъгълник ABM и триъгълник BCM.

7 зад. Докажете, че ако ъглополовящата на външен ъгъл на триъгълник е успоредна на страна на триъгълника, то този триъгълник е равнобедрен.

8 зад. Даден е триъгълник ABC, в който AB=BC=AC. Върху страната му AB са взети точки M и N така, че AM=BN. Да се намерят ъглите на триъгълник MNC, ако ъгъл ACM : ъгъл MCN= 1:4.

9 зад. В равнобедрения триъгълник ABC (AC=BC) ъглополовящите на ъглите при основата се пресичат в точка O. Да се докаже, че триъгълник ABC е равностранен тогава и само тогава, когато ъгъл AOB=120 градуса.