Задачи със симетрали за 7 клас

[Гост]

1. В триъгълник ABC симетралата на страната AC пресича страната BC в точка L и AL е ъглополовяща на ъгъл BAC. Намерете ъглите на триъгълник ABC, ако:
а) ъгъл ALB=72 градуса ; б) ъгъл ALB=ъгъл ACB + 40 градуа .

2. В триъгълник ABC симетралата на AC пресича AB в точка L и CL е ъглополовяща на ъгъл ACB. Намерете ъглите на триъгълник ABC, ако :
a) ъгъл CLB=88 градуса ; б) ъгъл ACB : ъгъл ABC = 2:3

[Davids]

1. Зад.: Знаем, че разстоянията от която и да е точка от симетралата на отсечка до краищата на тази отсечка са равни. Следователно $LC = AL$ и $\Delta ALC$ е равнобедрен, откъдето $\angle ACL = \angle CAL = \angle LAB = x$. Само че за $\Delta ALC$ ъгъл $\angle ALB$ е външен, следователно $\angle ALB = \angle LAC + \angle ACL = 2x$.
а) тъй като $\angle ALB = 72 \Rightarrow x = \angle ACL = 36^{\circ}$ и вече намираме $\angle BAC = 2\angle ACL = 72^{\circ}$, а $\angle ABC = 180 - 72 - 36 = 72^{\circ}$
б) тъй като $angle ALB = x + 40$, то имаме $x + 4 = 2x \Rightarrow x = 40$
Оттам вече $\angle BAC = x = 40$, $\angle ACB = 2x = 80$ и за последния ъгъл остава $\angle ABC = 180 - 40 - 80 = 60$

2. Зад.: Пак аналогично намираме, че $\angle CAB = \angle ACL = \angle LCB = x$, пак даденият ъгъл е външен за равнобедрения $\Delta ACL$ и оттам намираме:
а) $x = \angle CAB = 44$, $\angle ACB = 2x = 88$ и $\angle CBA = 180 - 88 - 44 = 48$
б) ако $\angle ACB = 2x$, то $\angle ABC = 180 - 3x$
Правим пропорцията:
$\frac{2x}{3(60 - x)} = \frac{2}{3} \Rightarrow x = 60 - x \Rightarrow x = 30$
Оттам $\angle BAC = x = 30$, $\angle ACB = 2x = 60$ и $\angle ABC = 180 - 3x = 90$