Задача по геометрия за 7 клас

[Гост]

1. На чертежа симетралите на страните AB и BC се пресичат в точка O. Да се докаже, че:
a) ъгъл MON = 180 – ъгъл ABC ;
б) ъгъл MON = 90 – ½ ъгъл MBN

[Nathi123]

a) Нека симетралата ON[tex]\cap BC = P \Rightarrow \angle OPB=90^\circ ; OM\cap AB = Q \Rightarrow \angle OQB=90^\circ[/tex]
От четириъг. OQPB [tex]\Rightarrow \angle MON=180^\circ - \angle ABC[/tex].
б) ON -симетрала на ВС [tex]\Rightarrow BN=NC \Rightarrow \angle NBC = \angle NCB = \gamma \Rightarrow \angle MNB=2\gamma[/tex] ( външен ъгъл за триъг. BNC)
Аналогично [tex]\angle MAB = \angle MBA = \alpha \Rightarrow \angle NMB = 2\alpha . \Delta MBN\Rightarrow \angle MBN = 180^\circ -2(\alpha + \gamma)[/tex] [tex]\Rightarrow \alpha + \gamma = 90^\circ - \frac{1}{2}\angle MBN (1) ;[/tex]
[tex]\angle ABC = \alpha + \gamma + \angle MBN.[/tex] От доказаното в а) [tex]\Rightarrow \angle MON = 180^\circ - \alpha - \gamma - \angle MBN\Rightarrow \angle MON = 180^\circ - \alpha - \gamma -180^\circ +2(\alpha + \gamma)\Rightarrow \angle MON = \alpha +\gamma[/tex]; (2)
От (1) и (2) [tex]\Rightarrow \angle MON = 90^\circ - \frac{1}{2}\angle MBN[/tex].