Средна стойност

[Гост]

Средната възраст на 11-те играчи от един футболен отбор е с една година по-голяма от средната възраст на десетте футболисти без капитана. С колко години възрастта на капитана е по-голяма от средната възраст на отбора?

[Davids]

Средната възраст на целия отбор означаваме с $\frac{a_1 + a_2 + .. + a_{10} + k}{11}$, където от $a_1$ до $a_{10}$ са възрастите на играчите, а $k$ е възрастта на капитана. Съответно средната възраст на играчите без капитана е $\frac{a_1 + a_2 + ... + a_{10}}{10}$.
Спрямо условието получаваме следното уравнение:
$\frac{a_1 + a_2 + .. + a_{10} + k}{11} = 1 + \frac{a_1 + a_2 + ... + a_{10}}{10}$
Търсим с колко капитанът е по-възрастен от средната възраст на играчите. Тоест
$x = k - \frac{a_1 + a_2 + ... + a_{10}}{10}$
Откъдето $k = x + \frac{a_1 + a_2 + ... + a_{10}}{10}$

Ще положим сбора от възрастите на играчите с $p = a_1 + a_2 + ... + a_{10}$
Тогава имаме $k = x + \frac{p}{10}$ и ще го заместим горе, получавайки:

$\frac{p + x + \frac{p}{10}}{11} = 1 + \frac{p}{10}$
Привеждайки под общ знаменател стигаме до:
$p + x + \frac{p}{10} = 11 + \frac{11}{10}p$
Съкращаваме $p$-тата и получаваме
$x = 11$ години е разликата на капитана със средната възраст на играчите.