Равнобедрен триъгълник

[Гост]

Равнобедреният триъгълник ABC има основа AB=c см. и ъгъл C =120 градуса. Точката М лежи на основата А като AM:MB=1:2.
ДА се намери CM
Да се докаже че височината в триъгълника ABC спусната от върха А е 3 пъти по-голяма от височината в триъгълника AMC спусната от върха М.

Благодаря ви

[Nathi123]

АС = ВС [tex]\Rightarrow \angle CAB=\angle ABC= 30^\circ ( \angle ACB = 120^\circ ).[/tex]
Построяваме [tex]CH\bot AB\Rightarrow AH=BH=\frac{c}{2}; \angle ACH=\angle HCB=60^\circ ; MP\bot AC ; AM: MB = 1:2[/tex]
[tex]\Rightarrow AM=x ; MB = 2x ; AB =3x . MH =AH - AM = \frac{3x}{2} - x = \frac{x}{2} ; \Delta AMP \Rightarrow MP = \frac{x}{2} ( \angle PAM = 30 ^\circ)[/tex]
[tex]\Rightarrow MP = MH = \frac{x}{2}[/tex] и са разстояния от т.М до АС и СН [tex]\Rightarrow CM[/tex] е ъглополовяща на [tex]\angle ACH \Rightarrow \angle MCH = 30^\circ[/tex].
От [tex]\Delta MCH \Rightarrow CM = 2 MH = 2.\frac{x}{2} = x =\frac{c}{3} .[/tex]
Построяваме АР [tex]\bot BC ; \Delta APB \Rightarrow \angle APB=90^\circ ; \angle ABP = 30^\circ \Rightarrow AP = \frac{1}{2}AB=\frac{3x}{2}; MP\bot AC[/tex] и [tex]MP = \frac{x}{2}\Rightarrow AP = 3MP[/tex].

[Гост]

Благодаря много