Неравенства в триъгълника

[Гост]

1. Ъглополовящите на ъглите при върховете B и C на Δ ABC се пресичат в точка O. Докажете, че BC е най-голямата страна в Δ BCO.
2. Височините, построени от върховете A и C на остроъгълния Δ ABC се пресичат в точка H. Докажете, че:
a) AC > AH ; б) AC > CH .
3. Точка O е вътрешна за Δ ABC. Докажете, че ъгъл AOB > ъгъл ACB.
4. В правоъгълния Δ ABC (< C = 900) CD е височина. Докажете, че ако α > β, то AD < CD.

[Nathi123]

1.зад. [tex]\Delta BOC\Rightarrow \angle AOB = 180^\circ - \frac{\gamma+\beta}{2}[/tex] Означаваме [tex]\angle ACB=\gamma; \angle ABC=\beta; \angle CAB = \alpha\Rightarrow \beta+\gamma =180^\circ\Rightarrow \frac{\beta+\gamma}{2}=\frac{180^\circ-\alpha}{2}\Rightarrow \angle COB = 90^\circ + \frac{\alpha}{2}[/tex]
[tex]\Rightarrow \angle COB >90^\circ \Rightarrow[/tex] е най - големият ъгъл в триъг. ВОС. [tex]\Rightarrow BC[/tex] e най - голямата страна в този триъг.

[Nathi123]

2.зад. a) Нека [tex]AA_{1 }\bot BC; CC_{1 }\bot AB ; AA_{1 }\cap CC_{1 } = H ; \Delta CAA_{1 }\Rightarrow \angle CA_{1 }A=90^\circ\Rightarrow CA>AA_{1 }[/tex] ( СА-хипотенуза и е най - голяма страна ); [tex]AH< AA_{1 }; AA_{1 }<CA\Rightarrow AH < CA;[/tex]
б) Аналогично от [tex]\Delta CAC_{1 }\Rightarrow CH < CC_{1 } < AC\Rightarrow CH < AC.[/tex]

[Nathi123]

4.зад. [tex]\Delta ABC\Rightarrow \angle ACB=90^\circ \Rightarrow \alpha +\beta = 90^\circ\Rightarrow \alpha =90^\circ - \beta; CD\bot AB\Rightarrow \Delta ACD ,\angle ACD=90^\circ - \alpha = \beta ; \alpha > \beta \Rightarrow AD < CD[/tex].
( В [tex]\Delta ACD[/tex] AD e срещу [tex]\beta; CD[/tex] - срещу [tex]\alpha[/tex].)

[Nathi123]

3.зад. Нека [tex]AO\cap BC = P \Rightarrow \angle AOB > \angle APB[/tex] ( външен за триъг. ОВР ) Аналогично [tex]\angle APB > \angle ACB[/tex]
( външен за триъг. АРС ) [tex]\Rightarrow \angle AOB > \angle ACB.[/tex]