Задачи с правоъгълници

[Гост]

1. В правоъгълника ABCD <ACB=5. <ACD. Ако разстоянието от върха D до AC е 5 см, намерете дължината на диагонала AC.
2. Диагоналите в правоъгълника ABCD се пресичат в точка O. Ако M е точка от отсечката AO и MB=MD, докажете, че ABCD е квадрат.

[Nathi123]

Означаваме [tex]\angle ACD = x\Rightarrow \angle ACB = 5x ; \angle ACD+\angle ABC = 90^\circ\Rightarrow 6x =90^\circ\Rightarrow x=15^\circ.[/tex]
Построяваме [tex]\angle CDL = \angle ACD=x = 15^\circ ( L \in AC ); DH\bot AC \Rightarrow \angle HDL=60^\circ ; HLD=30^\circ ; DL=LC.[/tex]
[tex]\Delta DHL \Rightarrow DL=2DH=2.5=10 \Rightarrow CL=DL=10 .[/tex]
[tex]\Delta ADL\Rightarrow \angle ALD=30^\circ ; \angle LAD=75^\circ\Rightarrow \angle LDA=75^\circ \Rightarrow DL=AL=10\Rightarrow AC=AL+CL = 20[/tex].

[Nathi123]

ABCD- правоъгълник по условие; [tex]AC\cap BD = O \Rightarrow DO = BO =\frac{1}{2}BD; \Delta MOB и \Delta MOD\Rightarrow DO=OB; MO=MO; MD=MB[/tex]
[tex]\Rightarrow[/tex] по ІІІ-ти признак триъг. са еднакви [tex]\Rightarrow \angle MOD= \angle MOB =90^\circ[/tex] ( те са и съседни ъгли)
[tex]\Rightarrow[/tex] ABCD - правоъгълник с взаимно перпенд. диагонали . [tex]\Rightarrow[/tex] ABCD-квадрат.