Геометрична задача с триъгълник

[Гост]

Даден е ∆ ABC със страна AC=7 см и <ABC=25 градуса. Върху страната AB точките M и N са такива, че AM=MN, BC=2CM и <MCN=<NCB=α. Ако K е среда на BC, обосновете, че ∆ AMC еднакъв на ∆ NKB. Изразете ъглите на ∆ ANC чрез α и намерете дължината на страната AB.

[Alex98]

[tex]\Delta CMN \cong \Delta CNK[/tex] по 1-ви признак , защото [tex]\angle MCN=\angle NCK=\alpha[/tex] и [tex]CK=\frac{1}{2}BC=CM[/tex] по условие,[tex]CN[/tex] е обща
[tex]\Rightarrow MN=NK[/tex] и [tex]\angle CMN=\angle CKN[/tex] като съответни елементи в еднакви триъгълници
[tex]\Rightarrow \angle AMC=\angle BKN[/tex] като външни на равни ъгли
[tex]\Rightarrow \Delta AMC \cong \Delta NKB[/tex] по 1-ви признак
[tex]\Rightarrow AC=BN[/tex] и [tex]\angle ACM=\angle KBN=25^\circ \Rightarrow \angle CAN=180^\circ-(25^\circ+25^\circ+\alpha+\alpha)=130^\circ-2\alpha[/tex]
[tex]\Rightarrow \angle ANC=180^\circ-(130^\circ-2\alpha+25^\circ+\alpha)=25^\circ+\alpha \Rightarrow \Delta ANC[/tex] е равнобедрен
[tex]\Rightarrow AC=AN \Rightarrow AB=AN+BN=2AC=14[/tex]