Задачи с триъгълници за 7 клас

[Гост]

1. В Δ ABC височината BH пресича ъглополовящата AL в точка O, а правата CO е перпендикулярна на AB. Докажете, че Δ ABC е равнобедрен.

2. В правоъгълния Δ ABC (<C=90 градуса) върху катета BC е взета точка P, която е на равни разстояния от върха C и от хипотенузата AB. Построена е отсечката PK перпендикулярна на AB

(K ε AB).

a) Докажете, че правата AP е симетрала на CK;

б) Ако <B=60 градуса и KC=4 см, намерете AP.

[Nathi123]

1.зад. [tex]CO\bot AB ; BH\bot AC; BH\cap CO = O[/tex] ( по условие) ; по условие ъглополовящата през върха А пресича
BH в точка О[tex]\Rightarrow AO[/tex] -височина и ъглополовяща в триъг. АВС [tex]\Rightarrow AC = AB.[/tex]

2. зад.а) [tex]PQ\bot AB ; \angle ACP=90^\circ ; P\in BC \Rightarrow \angle ACP=90^\circ ; PK\bot AB \Rightarrow CP = PK[/tex] ( по усл).
[tex]\Delta CAP[/tex] и [tex]\Delta APK \Rightarrow CP=PK ; AP= AP ; \angle ACP=\angle AKP=90^\circ \Rightarrow \Delta ACP\cong \Delta AKP[/tex] ( по ІV признак).
[tex]\Rightarrow AC = AK \Rightarrow[/tex] точка А е от симетралата на СК ; СР = РК ( по условие) [tex]\Rightarrow[/tex] точка Р е от симетралата
на СК.[tex]\Rightarrow AP[/tex] e симетрала на СК ,защото 2 различни точки ( А и Р ) определят единствена права - АР.
б) [tex]\angle B=60^\circ\Rightarrow \angle A =30^\circ\Rightarrow \angle CAP=\angle PAB=15^\circ ; AC=AK ( \Delta ACP\cong \Delta AKP)[/tex]
[tex]CK\cap AP =L ; AP\bot CK ; CL=LK=\frac{1}{2}CK=2 cm( от a) ).[/tex]
Построяваме [tex]\angle ACN=\angle CAP=15^\circ ; N\in AP; \Rightarrow CN=AN; \angle NCL=60^\circ\Rightarrow \angle CNA=30^\circ.[/tex]
[tex]\Delta NCL\Rightarrow \angle NLC=90^\circ ; \angle CNL=30^\circ \Rightarrow CN=AN=2CL=4 cm.[/tex]
От [tex]\Delta CNP \angle CNP=30^\circ ; \angle NCP = \angle NCL+\angle LCP=60^\circ + 15^\circ = 75^\circ \Rightarrow \angle NPC=75^\circ \Rightarrow[/tex]
[tex]CN=NP=4 cm[/tex][tex]\Rightarrow AP=AN + NP = 4 + 4 = 8 cm.[/tex]