Геометрична задача от пробен тест за НВО 2 модул

[Гост]

Върху страната CD на правоъгълника ABCD (AB > AD) е взета точка P така, че AP=CD. Върху отсечката AP е взета точка Q така, че AQ=DP.
a) Направете чертеж и докажете, че AP перпендикулярна на BQ;
б) Ако <PAD=60 градуса и периметърът на правоъгълника ABCD е 30 см, определете лицето му.

[Alex98]

а)[tex]\Delta ABQ\cong \Delta APD[/tex] по първи признак , защото [tex]AP=CD=AB, AQ=PD[/tex]по условие и [tex]\angle APD=\angle QAB[/tex] като кръстни при пресичането на успоредните прави определени от[tex]AB[/tex] и [tex]CD[/tex] с правата определена от [tex]AP[/tex]
[tex]\Rightarrow \angle AQB=\angle PDA=90^\circ[/tex] като съответни ъгли в еднакви триъгълници
б)[tex]\angle PAD=60^\circ \Rightarrow \angle APD=180^\circ-(90^\circ+60^\circ)=30^\circ[/tex]
[tex]\Rightarrow AD=\frac{1}{2}AP=\frac{1}{2}CD[/tex] катет срещу ъгъл [tex]30^\circ[/tex] в правоъгълен триъгълник
[tex]P_{ABCD}=2AD+2CD=2.\frac{1}{2}CD+2CD=CD+2CD=3CD=30см.\Rightarrow CD=10см. ;AD=\frac{1}{2}CD=5см.[/tex]
[tex]\Rightarrow S_{ABC}=CD.AD=10.5=50кв.см.[/tex]