Задачи за геометрични фигури и тела

[Гост]

Задача 1
Дължината на окръжност е равна на обиколката на квадрат. Да се докаже, че лицето на кръга, определен от окръжността, е по - голямо от лицето на квадрата
Задача 2
Дървена греда има форма на правоъгълен паралелепипед с размери 12 см, 16 см и 500 см. Относителното тегло е 0,75 грама на кубичен см. На каква дълбочина ще потъне гредата, ако бъде сложена във вода с една от най - големите си страни отдолу?
Задача 3
Намерете пълната повърхнина и обема на тяло, получено при завъртането на правоъгълен триъгълник с катети 3 см и 4 см и височина към хипотенузата 2 , 4 см около хипотенузата

[KOPMOPAH]

Задача 1
Дължината на окръжност е равна на обиколката на квадрат. Да се докаже, че лицето на кръга, определен от окръжността, е по - голямо от лицето на квадрата

Да отбележим радиуса на окръжността с $R$, тогава дължината й е $2\pi R$, а лицето на кръга $\pi R^2$. По условие обиколката на квадрата е равна на обиколката на окръжността, ако отбележим страната му с $a$ имаме $4a=2\pi R$, откъдето $a=\frac {\pi R}2$. Лицето на квадрата е $a^2=\frac {\pi^2 R^2}{2^2}=\frac {\pi^2 R^2}{4}<\pi R^2$

Задача 2
Дървена греда има форма на правоъгълен паралелепипед с размери 12 см, 16 см и 500 см. Относителното тегло е 0,75 грама на кубичен см. На каква дълбочина ще потъне гредата, ако бъде сложена във вода с една от най - големите си страни отдолу?

Обемът на гредата е $12. 16.500=96000\;cm^3$, като умножим по относителното тегло, получаваме теглото й $96000.0,75=72000\;g$. За да плува на повърхността, значи тя е изместила вода, която тежи колкото нея ($72000\;g$) и е с формата на паралелепипед с размери $500 \times 16 \times x$, където $x$ е дълбочината на потъване (ватерлинията ). Получаваме $500 . 16 . x=72000$, откъдето $x=9 \;cm$

Задача 3
Намерете пълната повърхнина и обема на тяло, получено при завъртането на правоъгълен триъгълник с катети 3 см и 4 см и височина към хипотенузата 2 , 4 см около хипотенузата

Малко странна задача, но решима. Предполагам, че в седми клас се изучава Питагоровата теорема, защото без нея не виждам как ще се реши задачата. От друга страна, ако се изучава Питагоровата теорема, защо съставителите на задачата са написали колко е височината към хипотенузата, а не са оставили решаващите да я намерят. Така или иначе, трябва да се намери хипотенузата ($5\;cm$), да се съобрази, че тялото, получено от въртенето, се състои от два конуса с радиус $2,4$, долепени с основите. Височините им са съответно $x$ и $5-x$. Тогава пълната повърхнина на тялото е равна на сумата от пълните повърнини на конусите с образуваща $3$ и $4$ $S=S_1+S_2=\pi R .3+\pi R .4=\pi.2,4.7=\cdots$, а обемът на тялото е $V=V_1+V_2=\frac {\pi R^2.x}3+\frac{\pi R^2.(5-x)}3=\frac {\cancel{\pi R^2.x}+\pi R^2.5-\cancel{\pi R^2.x}}3=\frac {\pi R^2.5}3=\cdots$