Правоъгълен триъгълник височина, ъглополовяща и медиана

[Гост]

В правоъгълния триъгълник ABC CH, CL и CM са съответно височина, ъглополовяща и медиана към хипотенузата. Докажете, че CL е ъглополовяща на ъгъл HCM.

Благодаря предварително!

[S.B.]

[tex]\triangle[/tex]ABC ,[tex]\angle[/tex]C =90[tex]^\circ[/tex],CM -медиана,CH - височина,CL - ъглополовяща;
Ако AC = BC тогава триъгълникът е равнобедрен и височината,медианата и ъглополовящата съвпадат.Нека AC>BC
Нека [tex]\angle[/tex]A = [tex]\alpha[/tex] тогава [tex]\angle[/tex]B = 90[tex]^\circ[/tex] - [tex]\alpha[/tex]
CM - медиана в правоъг. триъгълник [tex]\rightarrow[/tex] [tex]\triangle[/tex]AMC е равнобедрен,AM = CM и следователно [tex]\angle[/tex]A =[tex]\angle[/tex]MCA = [tex]\alpha[/tex]
CH - височина,[tex]\triangle[/tex]BHC е правоъгълен,[tex]\angle[/tex]B = 90[tex]^\circ[/tex] - [tex]\alpha[/tex] [tex]\rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]BCH = [tex]\alpha[/tex]
CL - ъглополовяща на [tex]\angle[/tex]C [tex]\rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]ACL = [tex]\angle[/tex]BCL = 45[tex]^\circ[/tex]
[tex]\angle[/tex]MCL = [tex]\angle[/tex]ACL - [tex]\angle[/tex]ACM = 45[tex]^\circ[/tex] - [tex]\alpha[/tex]
[tex]\angle[/tex]HCL = [tex]\angle[/tex]BCL - [tex]\angle[/tex]BCH = 45[tex]^\circ[/tex] - [tex]\alpha[/tex]
[tex]\rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]MCL = [tex]\angle[/tex]HCL [tex]\Rightarrow[/tex] CL е ъглополовяща на [tex]\angle[/tex]HCM