Докажете, че израза се дели на 6

[Гост]

Докажете, че 2x^3+3x^2+x се дели на 6

[Davids]

Докажете, че 2x^3+3x^2+x се дели на 6

$2x^3 + 3x^2 + x = x(2x^2 + 2x + x + 1) = x(2x+1)(x+1)$
Приемам, че става дума само за цели стойности на х. Та ако разгледаме израза, той има три множителя. $x(x+1)$ веднага ни гарантира делимост на две, ттй като винаги имаме един четен множител, а вторият ще е нечетен. Остава да докажем делимост на три. Знаем, че едно на всеки три цели числа св двли на три.следивателно или $х$, или $х+1$, или $х+2$ задължително се дели на три. При $х$ и $х+1$ е очевидно, остава да разгледаме, че ако $х + 2 | 3$ (четем „се дели на три“), то и $2(х + 2) | 3$, т.е. $2х + 4 | 3$. Делимостта се запазва и ако извадим n пъти три от лявата страна, следователно $2х + 4 - 3 = 2х + 1$ също се дели на три. Доказателството е готово.

[Genie_Almo]

Използвам повода, за да споделя следното наблюдение. Нека:

$P(x) = a_{n}x^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_0$

е полином с целочислени коефициенти. Ако трябва да доказваме делимост на полинома с дадено число $m$ за всяко $x \epsilon Z$ можем да използваме следния ред на мисли:

Ако $k$ е остатъкът при деление на $x$ с числото $m$, то

$ x \equiv k \,\ (mod\,\ m)$

$x^i \equiv k^i \,\ (mod\,\ m)$

$a_ix^i \equiv a_ik^i \,\ (mod\,\ m)$

Следователно

$a_{n}x^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_0 \equiv a_{n}k^n+a_{n-1}k^{n-1}+...+a_{1}k+a_0\,\ (mod\,\ m)$

Това означава, че ако полинома се дели на $m$ при последователно заместване на $x$ със всички възможни остатъци при дление на $m$ (или с най-удобните съобразно ситуацията $m$ последователни числа) , това ще означава, че той по принцип е кратен на $m$ за всички цели $x$.

В частния случай на тази задача е достатъчно да заместим $x$ в полинома последователно с числата {-2, -1, 0, 1, 2, 3} и ако при всички тях $P(x)$ се дели на $6$, значи по принцип $P(x)$ се дели на $6$ за $ \forall x \epsilon Z$.

P.S. Не знам тези сравнимости по модул кога (и въобще дали) се учат, но в този сайт има поместена достатъчно добра лекция по темата, която не би трябвало да се опре на никой достатъчно любопитен седмокласник. https://www.matematika.bg/olimpiadi/teo ... nenia.html

[ptj]

Учат се само от състезатели (6 клас) или на някой СИП (11-12 клас). По-подробно може да се запознаеш с тях едва във ВУЗ. Те са малък подраздел от "Теория на числата".