Задача за триъгълник

[Гост]

Даден е триъгълник ABC, <C=50°.Точките М и N са съответно от страните АС и ВС и правите ANи BM се пресичат в точка Р- вътрешна за триъгълника, като <APB=120°. Ъглополовящите на ъглите <САN i <CBM се пресичат в т. Q. Колко е <AQB?

[Davids]

Ъгли в триъгълник.png (53.39 KiB) Прегледано 388 пъти

Означил съм всичко дадено, само ще опиша двете неща, които имаш да съобразиш за решаване на задачата:
I) $\angle AHQ$ - външен за $\Delta PHB$, следователно $\angle AHQ = \angle BPH + \angle PBH = 60^{\circ} + \beta$
Разглеждаме сега $\Delta AHQ$ и изразяваме сбора на ъглите му: $\alpha + 60^{\circ} + \beta + x = 180 \Rightarrow \boxed{x + \alpha + \beta = 120^{\circ}}$ (1)
II) $\angle BMC$ - външен за $\Delta ABM$, следователно $\angle BMC = \angle APM + \angle PAM = 60^{\circ} + 2\alpha$. Аналогично $\angle ANC = 60^{\circ} + 2\beta$. И сега ще разгледаме сбора на ъглите на четириъгълника $PNCM$: $120 + 50 + 60 + 2\alpha + 60 + 2\beta = 360 \Rightarrow \boxed{\alpha + \beta = 35^{\circ}}$ (2)

Окончателно остана да заместиш (2) в (1) и оттам намираш $x = 85^{\circ}$ ти е търсеният ъгъл.