Височина и триъгълник

[Гост]

В остроъгълния триъгълник АВС височините от връх А и връх В се пресичат в точка Н, а ъглополовящите на външните ъгли при върховете А и В се пресичат в точка О. Намерете големината на ъгъл АСВ, ако :
а.) ъгъл АОВ + ъгъл АНВ = 165 градуса;
б.) ъгъл АНВ - ъгъл АОВ = 50 градуса.

[ева]

a)Нека [tex]\angle[/tex]ВАС=[tex]\alpha[/tex],[tex]\angle[/tex]АВС=[tex]\beta[/tex],[tex]\angle[/tex]АОВ=[tex]\varphi[/tex],[tex]\angle[/tex]АНВ=165[tex]^\circ[/tex]-[tex]\varphi[/tex],[tex]\angle[/tex]АСВ=[tex]\gamma[/tex]=?
АО е ъглополовяща на външен ъгъл [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]ВАО=[tex]\frac{180^\circ-\alpha}{2}[/tex]=90[tex]^\circ[/tex]-[tex]\frac{\alpha}{2}[/tex]
ВО е ъглополовяща на външен ъгъл [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]АВО=[tex]\frac{180^\circ-\beta}{2}[/tex]=90[tex]^\circ[/tex]-[tex]\frac{\beta}{2}[/tex]

Нека АТ,ВК са височините в [tex]\triangle[/tex]АВС,разглеждаме [tex]\triangle[/tex]АВК [tex]\alpha[/tex]+[tex]\angle[/tex]АВК+90[tex]^\circ[/tex]=180[tex]^\circ[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]АВК=90[tex]^\circ[/tex]-[tex]\alpha[/tex]
разглеждаме [tex]\triangle[/tex]АВТ [tex]\angle[/tex]ТАВ+[tex]\beta[/tex]+90[tex]^\circ[/tex]=180[tex]^\circ[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]ТАВ=90[tex]^\circ[/tex]-[tex]\beta[/tex]
Разглеждаме четириъгълника АОВН. [tex]\angle[/tex]НАО+[tex]\angle[/tex]АОВ+[tex]\angle[/tex]ОВН+[tex]\angle[/tex]ВНА=360[tex]^\circ[/tex]
(90[tex]^\circ[/tex]-[tex]\beta[/tex]+90[tex]^\circ[/tex]-[tex]\frac{\alpha}{2}[/tex])+[tex]\varphi[/tex]+(90[tex]^\circ[/tex]-[tex]\frac{\beta}{2}[/tex]+90[tex]^\circ[/tex]-[tex]\alpha[/tex])+(165[tex]^\circ[/tex]-[tex]\varphi[/tex])=360[tex]^\circ[/tex]
-[tex]\frac{3\alpha}{2}[/tex]-[tex]\frac{3\beta}{2}[/tex]=-165[tex]^\circ[/tex] /.(-[tex]\frac{2}{3}[/tex])

[tex]\alpha[/tex]+[tex]\beta[/tex]=110[tex]^\circ[/tex] (Няма нужда да търсим поотделно [tex]\alpha[/tex] и [tex]\beta[/tex])

([tex]\triangle[/tex]АВС) [tex]\alpha[/tex]+[tex]\beta[/tex]+[tex]\gamma[/tex]=180[tex]^\circ[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] 110[tex]^\circ[/tex]+[tex]\gamma[/tex]=180[tex]^\circ[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\gamma[/tex]=70[tex]^\circ[/tex]
отг. 70[tex]^\circ[/tex]