24 задача от НВО

[Гост]

[Davids]

Първо имаш факта, че ъглополовящата в равнобедрен триъгълник към основата е и нейна симетрала. Следователно $AL \bot BC$ и $BL = CL = \frac{a}{2}$. Тъй като $m \bot AL$ и $CL \bot AL$, то $AM || CL$. Аналогично и $n \bot m$ и $AL \bot m$, то значи и $CM || AL$ и оттам имаш две двойки противоположни успоредни страни на четириъгълника, сключващи със съседните си ъгли по 90 градуса и $ALCM$ е правоъгълник.
Сега ще докажем еднаквостта. Казахме вече, че $BL = CL = \frac{BC}{2}$ и тъй като $ALCM$ е правоъгълник, то значи и $AM = CL = \frac{BC}{2}$. Паралелно с това имаме $\angle PMA = \angle ALC = 90^{\circ}$. Също имаме и от ъгълополовящата, че $\angle BAL = \frac{\alpha}{2}$ (ако нали $\angle BAC = \alpha$). Тогава $\angle PAM = 180 - \angle MAL - \angle BAL = 90 - \frac{\alpha}{2}$, само че и $\angle ACL = 180 - 90 - \angle CAL = 90 - \frac{\alpha}{2}$, следователно $\angle PAM = \angle ACL = 90 - \frac{\alpha}{2}$. С тези три фактора (правия ъгъл, равната страна и другия равен ъгъл при хипотенузата) сме доказали еднаквостта, т.е. $\Delta PAM \cong \Delta ACL$

Сега имаме, че $AB = 2AM = a$. Тогава $AM = CL = \frac{CL}{2} = \frac{a}{2} \Rightarrow CL = a$ и $\Delta ABC$ е равностранен. Оттам и $\angle ABC = 60^{\circ}$, а $\angle BAL = \angle LAC = \angle ACM = 30^{\circ}$. Горе изразихме, че $\angle PAM = 90 - \frac{\alpha}{2} = 90 - 30 = 60$. Оттам и $\Delta PAM \cong \Delta CAM$, следователно $P_{ACP} = PA + AC + PC = a + a + 2b = 2(a+b)$.
А за ъглите на триъгълника остава най-лесното, вече ги изразихме покрай другото: $\angle BPC = 30; \angle PBC = 60; \angle PCB = 90$. Това е.

[Гост]

Разбрах я. Мерси.