Успоредник

[Гост]

Диагоналите на четириъгълника АВСД се пресичат в точка О. Ако АО=ОС и <АВД=<ВДС, докажете, че АВСД е успоредник

[Nathi123]

[tex]\angle ABD = \angle BDC[/tex] и са кръстни ъгли за правите АВ и CD пресечени с BD [tex]\Rightarrow AB||CD[/tex]
За [tex]ABO[/tex] и [tex]\triangle DCO[/tex] по усл. AO=CO ; [tex]\angle ABD = \angle BDC ; \angle AOB=\angle DOC[/tex] противоп.
[tex]\Rightarrow \triangle ABO \cong \triangle DCO \Rightarrow AB = CD[/tex] и AB|| CD [tex]\Rightarrow[/tex] ABCD-успоредник.

[S.B.]

II начин:
1) AO = CO ( по условие)
2)[tex]\angle[/tex]ABD = [tex]\angle[/tex]BDC ( по условие)
3)[tex]\angle[/tex]АОB = [tex]\angle[/tex]DOC ( като връхни)
[tex]\Rightarrow[/tex][tex]\triangle[/tex]AOB [tex]\cong[/tex] [tex]\triangle[/tex]DOC [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]BAO = [tex]\angle[/tex] DCO ,но срещу равните ъгли лежат и равните страни [tex]\Rightarrow[/tex]BO = OD
От [tex]\begin{cases} АО = ОC \\BO = OD \end{cases}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex]ABCD е четриъгълник в който диагоналите се разполивяват в прес. си точка [tex]\Rightarrow[/tex] ABCD е успоредник