Намерете ъглите на триъгълника

[Гост]

От един връх на триъгълник са построени височина и медиана.Те разделят ъгъла при дадения връх на три равни ъгъла.
Намерете ъглите на триъгълника.

[S.B.]

Даден е [tex]\triangle[/tex]ABC,CH[tex]\bot[/tex]AB и CM - медиана,M[tex]\in[/tex]АB и AM = MB;[tex]\angle[/tex]ACM = [tex]\angle[/tex]MCH = [tex]\angle[/tex]HCB = [tex]\varphi[/tex]; Търсят се ъглите на [tex]\triangle[/tex]ABC;
[tex]\triangle[/tex]BHC[tex]\cong[/tex][tex]\triangle[/tex]MHC (CH - обща, [tex]\angle[/tex]BCH = [tex]\angle[/tex]MCH = [tex]\varphi[/tex],[tex]\angle[/tex]BHC = [tex]\angle[/tex]MHC = 90[tex]^\circ[/tex]) [tex]\Rightarrow[/tex]MH = HB ( = a)[tex]\rightarrow[/tex]MB=2a;
[tex]\angle[/tex]ACM = [tex]\angle[/tex]MCH [tex]\Rightarrow[/tex] MC е ъглополовяща на [tex]\angle[/tex]ACH;
Построявам МN[tex]\bot[/tex]AC;Знаем,че MH[tex]\bot[/tex] CH ,т. М[tex]\in[/tex] на ъглополовящата,следователно MN = MH,и понеже MH = a [tex]\rightarrow[/tex]MN = a
Разглеждам [tex]\triangle[/tex]АMN: [tex]\angle[/tex]ANM = 90[tex]^\circ[/tex],MN = a,AM = MB = 2a[tex]\Rightarrow[/tex][tex]\angle[/tex]MAN = 30[tex]^\circ[/tex];
Разглеждам [tex]\triangle[/tex]АHC:[tex]\angle[/tex]A = 30[tex]^\circ[/tex],[tex]\angle[/tex]AHC= 90[tex]^\circ[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex][tex]\angle[/tex]ACH = 60[tex]^\circ[/tex];Но [tex]\angle[/tex]ACH = 2[tex]\varphi[/tex] , 2[tex]\varphi[/tex] = 60[tex]^\circ[/tex][tex]\rightarrow[/tex] [tex]\varphi[/tex] = 30[tex]^\circ[/tex] и тогава [tex]\angle[/tex]АCB = 3[tex]\varphi[/tex] = 90[tex]^\circ[/tex]
Получихме ъглите на [tex]\triangle[/tex]ABC : [tex]\angle[/tex]A = 30[tex]^\circ[/tex], [tex]\angle[/tex]C = 90[tex]^\circ[/tex] , [tex]\angle[/tex] B = 60[tex]^\circ[/tex]

[Knowledge Greedy]

Означенията са стандартни, като повтарям тези на S.B., само дето височината е означена с [tex]CD[/tex].
И в двете решения по-долу ще използваме свойството на ъглополовящата-височина - че е такава в равнобедрен триъгълник. Средство за доказване - от еднакви триъгълници, ..., питагорови теореми, та до определението примерно за косинус [tex]\left ( \frac{CD}{CM} = cos\varphi = \frac{CD}{CB} \,\ \Rightarrow \,\ MC=BC \right )[/tex].

Ъглополовящата dash Медиана.png (6.72 KiB) Прегледано 968 пъти

Второ решение (първото е на S.B. » Съб Май 05, 2018 8:36 pm). От равнобедрения [tex]\triangle MBC[/tex] следва [tex]MD=DB[/tex], а оттук - точката [tex]M[/tex] дели отсечката [tex]AD[/tex] в отношение [tex]2:1[/tex], считано от [tex]A[/tex].
Продължаваме [tex]CD[/tex], след точката [tex]D[/tex], до точка [tex]N[/tex] така, че [tex]DN=CD[/tex].
Появи се триъгълник [tex]\triangle ANC[/tex], чиито медицентър е точката [tex]M[/tex], защото дели медианата [tex]AD[/tex] към страната [tex]CN[/tex] в отношение [tex]2:1[/tex], считано от [tex]A[/tex].
Това означава, че отсечката [tex]CM[/tex] е част от друга нейна медиана [tex]CQ[/tex] - през върха [tex]C[/tex]. Но в такъв случай [tex]CQ[/tex] е медиана - ъглополовяща. Следва, че триъгълник [tex]\triangle ANC[/tex] е равнобедрен, с основа [tex]AN[/tex].
За този триъгълник вече знаем, че е равнобедрен - по построение - с основа [tex]NC[/tex].
Следователно е равностранен,
[tex]2 \varphi = 60^\circ, \,\ \angle BAC = 30^\circ , \,\ \angle ACB=90^\circ \,\ и \,\ \angle ABC=60^\circ[/tex].

Трето решение. От равнобедрения [tex]\triangle MBC[/tex] следва [tex]MD=DB[/tex], а оттук - точката [tex]M[/tex] дели отсечката [tex]AD[/tex] в отношение [tex]2:1[/tex], считано от [tex]A[/tex].

Свойство на ъглополовящата.png (4.67 KiB) Прегледано 968 пъти

Ще използваме свойство на ъглополовящата [tex]CM[/tex], на [tex]\angle ACD[/tex] в [tex]\triangle ADC[/tex].
[tex]\frac{AC}{DC}=\frac{AM}{DM}=2:1[/tex]
Но [tex]AC[/tex] е хипотенуза в правоъгълния [tex]\triangle ADC[/tex] и [tex]AC=2.CD[/tex] означава, че ъгълът [tex]\angle DAC = 30^\circ[/tex].