Еднакви триъгълници

[Гост]

1. Докажете, че два правоъгълни триъгълника са еднакви по :
А- катет и медиана към единия от катетите
Б- катет и височина към хипотенузата
В- катет и ъглополовяща към другия катет
2. Докажете, че два триъгълника са еднакви по две страни и медиана към третата им страна
3. Вярно ли е, че два триъгълника са еднакви, ако две страни и височина към третата са съответно равни н адве страни и височина към третата от другия триъгълник?
4. Вярно ли е, че два триъгълника са еднакви, ако имат съответно равни две страни и височина към едната от тях?

[ева]

1 зад. в)
Дадено: [tex]\triangle[/tex]АВС и [tex]\triangle[/tex][tex]А_{1 }[/tex][tex]В_{1 }[/tex][tex]С_{1 }[/tex] ([tex]\angle[/tex]ВСА=[tex]\angle[/tex][tex]В_{1 }[/tex][tex]С_{1 }[/tex][tex]А_{1 }[/tex]=90[tex]^\circ[/tex] ); АС=[tex]А_{1 }[/tex][tex]С_{1 }[/tex] ; AL=[tex]A_{1 }[/tex][tex]L_{1 }[/tex] (AL,[tex]A_{1 }[/tex][tex]L_{1 }[/tex] са ъглополовящи)
Разглеждаме правоъгълните [tex]\triangle[/tex]ALC и [tex]\triangle[/tex][tex]A_{1 }[/tex][tex]L_{1 }[/tex][tex]C_{1 }[/tex]
1.АС=[tex]А_{1 }[/tex][tex]С_{1 }[/tex]
2.AL=[tex]A_{1 }[/tex][tex]L_{1 }[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\triangle[/tex]ALC[tex]\cong[/tex][tex]\triangle[/tex][tex]A_{1 }[/tex][tex]L_{1 }[/tex][tex]C_{1 }[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]CAL=[tex]\angle[/tex][tex]C_{1 }[/tex][tex]A_{1 }[/tex][tex]L_{1 }[/tex] /.2 получаваме [tex]\angle[/tex]САВ=[tex]\angle[/tex][tex]С_{1 }[/tex][tex]А_{1 }[/tex][tex]В_{1 }[/tex] [(§) ]
Разглеждаме [tex]\triangle[/tex]АВС и [tex]\triangle[/tex][tex]А_{1 }[/tex][tex]В_{1 }[/tex][tex]С_{1 }[/tex]
1.АС=[tex]А_{1 }[/tex][tex]С_{1 }[/tex]
2.[tex]\angle[/tex]САВ=[tex]\angle[/tex][tex]С_{1 }[/tex][tex]А_{1 }[/tex][tex]В_{1 }[/tex] [(от (§) ]
3.[tex]\angle[/tex]АСВ=[tex]\angle[/tex][tex]А_{1 }[/tex][tex]С_{1 }[/tex][tex]В_{1 }[/tex]=90[tex]^\circ[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] по 2 признак [tex]\triangle[/tex]АВС[tex]\cong[/tex][tex]\triangle[/tex][tex]А_{1 }[/tex][tex]В_{1 }[/tex][tex]С_{1 }[/tex]

[ева]

3 зад.
Дадено:[tex]\triangle[/tex]АВС, [tex]\triangle[/tex][tex]А_{1 }[/tex][tex]В_{1 }[/tex][tex]С_{1 }[/tex];АС=[tex]А_{1 }[/tex][tex]С_{1 }[/tex],ВС=[tex]В_{1 }[/tex][tex]С_{1 }[/tex],СН=[tex]С_{1 }[/tex][tex]Н_{1 }[/tex] (СН и [tex]С_{1 }[/tex][tex]Н_{1 }[/tex] са височини в тр-те)
Ще докажем,че [tex]\triangle[/tex]АВС[tex]\cong[/tex][tex]\triangle[/tex][tex]А_{1 }[/tex][tex]В_{1 }[/tex][tex]С_{1 }[/tex]
Разглеждаме правоъгълните [tex]\triangle[/tex]АНС и [tex]\triangle[/tex][tex]А_{1 }[/tex][tex]Н_{1 }[/tex][tex]С_{1 }[/tex]
1.СН=[tex]С_{1 }[/tex][tex]Н_{1 }[/tex]
2.АС=[tex]А_{1 }[/tex][tex]С_{1 }[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\triangle[/tex]АНС[tex]\cong[/tex][tex]\triangle[/tex][tex]А_{1 }[/tex][tex]Н_{1 }[/tex][tex]С_{1 }[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]САН=[tex]\angle[/tex][tex]С_{1 }[/tex][tex]А_{1 }[/tex][tex]Н_{1 }[/tex] т.е. [tex]\angle[/tex]САВ=[tex]\angle[/tex][tex]С_{1 }[/tex][tex]А_{1 }[/tex][tex]В_{1 }[/tex] (3) и [tex]\angle[/tex]НСА=[tex]\angle[/tex][tex]Н_{1 }[/tex][tex]С_{1 }[/tex][tex]А_{1 }[/tex] (4)
По същия начин доказваме,че [tex]\triangle[/tex]НВС[tex]\cong[/tex][tex]\triangle[/tex][tex]Н_{1 }[/tex][tex]В_{1 }[/tex][tex]С_{1 }[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]НСВ=[tex]\angle[/tex][tex]Н_{1 }[/tex][tex]С_{1 }[/tex][tex]В_{1 }[/tex] (5)
Събираме (4) и (5) ,получаваме:[tex]\angle[/tex]ВСА=[tex]\angle[/tex][tex]В_{1 }[/tex][tex]С_{1 }[/tex][tex]А_{1 }[/tex] (6)
Разглеждаме [tex]\triangle[/tex]АВС и [tex]\triangle[/tex][tex]А_{1 }[/tex][tex]В_{1 }[/tex][tex]С_{1 }[/tex]
1.АС=[tex]А_{1 }[/tex][tex]С_{1 }[/tex]
2.[tex]\angle[/tex]САВ=[tex]\angle[/tex][tex]С_{1 }[/tex][tex]А_{1 }[/tex][tex]В_{1 }[/tex] [от (3) ]
3.[tex]\angle[/tex]ВСА=[tex]\angle[/tex][tex]В_{1 }[/tex][tex]С_{1 }[/tex][tex]А_{1 }[/tex] [от (6) ] [tex]\Rightarrow[/tex] по 2 признак [tex]\triangle[/tex]АВС[tex]\cong[/tex][tex]\triangle[/tex][tex]А_{1 }[/tex][tex]В_{1 }[/tex][tex]С_{1 }[/tex]
Вярно е,че двата триъгълника са еднакви.

[KOPMOPAH]

Втора задача.png (15.67 KiB) Прегледано 794 пъти

Запомни златното правило, когато имаш задача с медиана - първо правиш чертежа и ПРОДЪЛЖАВАШ медианата, за да се получи успоредник. После почваш да мислиш върху задачата.
Това правило е онагледено по-горе.

По условие $AB=A_1B_1$, $AC=A_1C_1$ и $AM=A_1M_1$
С построяването на точките $D$ и $D_1$ получаваме успоредниците $ABDC$ и $A_1B_1D_1C_1$, на които съответните страни са равни.
Триъгълниците $\triangle ACD \cong \triangle A_1C_1D_1$ и $\triangle ABD \cong \triangle A_1B_1D_1$ по трети признак, следователно $\measuredangle DAC=\measuredangle D_1A_1C_1$ и $\measuredangle DAB=\measuredangle D_1A_1B_1$, но $\measuredangle CAB=\measuredangle DAC+\measuredangle DAB$, а $\measuredangle C_1A_1B_1=\measuredangle D_1A_1C_1+\measuredangle D_1A_1B_1$, следователно и $\measuredangle CAB=\measuredangle C_1A_1B_1$ и тогава $\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$ по първи признак.

[KOPMOPAH]

Четвърта задача.png (5.67 KiB) Прегледано 792 пъти

В задачата се пита вярно ли е, че два триъгълника са еднакви, ако имат съответно равни две страни и височина към едната от тях?
Отговорът е - НЕ!
На чертежа $AB=A_1B_1$, $AC=A_1C_1$ и височините към $AB$ и $A_1B_1$ са равни, но безспорно двата триъгълника не са еднакви, т.к. единият е остроъгълен, а другият - не. Те имат само равни лица.

[S.B.]

Зад.1.а) (първи случай):
Дадено:[tex]\triangle ABC ,\angle C=90^\circ ,BM[/tex] - медиана и [tex]\triangle A_{1 }B_{1 }C_{1 } , \angle C_{1 } = 90^\circ , B_{1 }M_{1 }[/tex] - медиана;[tex]BC = B_{1 }C_{1 } , BM = B_{1 }M_{1 }[/tex];
Да се докаже:[tex]\triangle ABC \cong \triangle A_{1 }B_{1 }C_{1 }[/tex]
Доказателство: [tex]\triangle BMC \cong \triangle B_{1 }M_{1 }C_{1 }[/tex] - правоъгълни ,с равни катет и хипотенуза:[tex]BC = B_{1 }C_{1 }, BM = B_{1 }M_{1 } , \angle C = \angle C_{1 } = 90^\circ[/tex] тогава всичките им елементи са равни [tex]\Rightarrow CM = C_{1 }M_{1 }[/tex]
Но [tex]M[/tex] и [tex]M_{1 }[/tex] са среди съответно на [tex]CA[/tex] и [tex]C_{1 }A_{1 } \Rightarrow MA = M_{1 }A_{1 }[/tex]
[tex]\Rightarrow CA = C_{1 }A_{1 } \Rightarrow \triangle ABC \cong \triangle A_{1 }B_{1 }C_{1 }[/tex] по първи признак

[S.B.]

Зад.1,а) втори случай:
Дадено:[tex]\triangle ABC,\angle C = 90^\circ ,AM[/tex] - медиана;[tex]\triangle A_{1 }B_{1 }C_{1 } , \angle C_{1 } = 90^\circ ,A_{1 }M_{1 }[/tex] - медиана;[tex]AM = A_{1 }M_{1 } ,CB = C_{1 }B_{1 }[/tex]
Да се докаже:[tex]\triangle ABC \cong \triangle A_{1 }B_{1 }C_{1 }[/tex]
Доказателство:От [tex]CB = C_{1 }B_{1 }[/tex] и [tex]M[/tex] и [tex]M_{1 }[/tex] среди на [tex]CB[/tex] и [tex]C_{1 }B_{1 } \Rightarrow CM = C_{1 }M_{1 }[/tex]
[tex]\triangle AMC \cong \triangle A_{1 }M_{1 }C_{1 }[/tex] по катет и хипотенуза [tex]\Rightarrow AC = A_{1 }C_{1 } \Rightarrow \triangle ABC \cong \triangle A_{1 }B_{1 }C_{1 }[/tex] по първи признак