Ъглополовяща и успоредник

[Гост]

Даден е успоредник АБЦД. Ъглополовящите при върховете А и В пресичат страната СД съответно в М и N. Намерете периметъра на успоредника, ако ДМ=4 см и МN=3 cm

[Knowledge Greedy]

Ъглополовящите участват в създаването на два равнобедрени триъгълника - [tex]\triangle AMD[/tex] и [tex]\triangle BNC[/tex].

[S.B.]

Даден е успоредник [tex]ABCD[/tex] ,ъглополивящите [tex]AM ,BN[/tex] като [tex]M\in CD, N\in CD,DM = 4, MN =1[/tex]
Да се намери [tex]P_{ABCD } = ?[/tex]
Първи случай : т. [tex]N[/tex] е между т.[tex]D[/tex] и т. [tex]M[/tex]
[tex]AM[/tex] е ъглополовяща [tex]\Rightarrow \angle BAM = \angle DAM[/tex] ,от ([tex]AB[/tex] II [tex]CD[/tex]) X [tex]AM \Rightarrow \angle DMA = \angle BAM[/tex] като кръстни ,но тогава [tex]\angle DMA = \angle DAM \Rightarrow \triangle AMD[/tex] е равнобедрен и [tex]DM = AD = 4[/tex],но [tex]AD = BC \Rightarrow BC = 4[/tex]
Аналогични разсъждения правим за [tex]\triangle BNC[/tex] - той също е равнобедрен и [tex]CN = BC = 4[/tex]
[tex]DC = DM + MC[/tex] , но [tex]MC = CN - MN = 4 - 1 =3 \Rightarrow DC = 4 + 3 = 7[/tex]
[tex]P_{ABCD } = 2.DC + 2.AD = 2.7 + 2.4 = 22[/tex]
Втори случай : т.[tex]M[/tex] е между т.[tex]D[/tex] и т. [tex]N[/tex]
Аналогично на доказателството от първи случай [tex]\triangle AMD[/tex] е равнобедрен и [tex]AD = DM = 4[/tex] ,но [tex]AD = BC \Rightarrow BC = 4[/tex]
Аналогично и [tex]\triangle BCN[/tex] е равнобедрен и [tex]NC = BC = 4[/tex];Страната [tex]CD = CN + MN + MD = 4 + 1 +4 = 9[/tex]
[tex]P_{ABCD } = 2.CD + 2.AD = 2.9 + 2.4 = 18 + 8 = 26[/tex]