Ъгли в триъгълник

[Гост]

В триъгълника АВС ъгъл А е 40, ъгъл C е 20, точка D е вътрешна за страната АС и АD=ВС. Да се намери ъгъл АDВ.

[Гост]

aha.PNG (21.52 KiB) Прегледано 214 пъти

Продължаваме страната АВ до В' така, че ВВ'=ВС. [tex]\angle[/tex]В'ВC=60 (външен)[tex]\Rightarrow[/tex][tex]\triangle[/tex]ВВ'С е равностранен. Нека D'[tex]\in[/tex]AC е такава, че [tex]\angle[/tex]СD'В' е 80[tex]\Rightarrow[/tex][tex]\angle[/tex]D'В'С е 20, [tex]\angle[/tex]АВ'D' е 40[tex]\Rightarrow[/tex]АD'=В'D'=В'С =ВС =АD[tex]\Rightarrow[/tex]D' съвпада с D. От равнобедрения [tex]\triangle[/tex]ВDВ'[tex]\Rightarrow[/tex][tex]\angle[/tex]ВDВ' е 70[tex]\Rightarrow[/tex][tex]\angle[/tex]АDВ=30.

[Гост]

aha2.PNG (47.21 KiB) Прегледано 179 пъти

Нека С' е такава, че СС' = ВС = АD. Тогава АС' = DС. От равнобедрения [tex]\triangle[/tex]ВС'С[tex]\Rightarrow[/tex][tex]\angle[/tex]С'ВС=80[tex]\Rightarrow[/tex][tex]\angle[/tex]АВС'=40[tex]\Rightarrow[/tex]АС'=ВС'=DС. Построяваме точка В' такава, че [tex]\angle[/tex]АСВ'=40 и В'С = ВС. Тогава ВСВ' е равностранен[tex]\Rightarrow[/tex]ВВ'=ВС и [tex]\angle[/tex]С'ВВ'=20=[tex]\angle[/tex]АСВ. [tex]\angle[/tex]СС'В=80=160/2 и [tex]\angle[/tex]С'ВВ'=20=([tex]\angle[/tex]С'СВ')/2[tex]\Rightarrow[/tex]С съвпада с центъра на описаната около [tex]\triangle[/tex]ВС'В' окръжност[tex]\Rightarrow[/tex][tex]\angle[/tex]ВС'В'=(360-60)/2=150. [tex]\triangle[/tex]ВС'В'[tex]\cong[/tex][tex]\triangle[/tex]СDВ ( първи признак )[tex]\Rightarrow[/tex][tex]\angle[/tex]ВDС=150[tex]\Rightarrow[/tex][tex]\angle[/tex]АDВ=30.