Лодка и сал

[FlikoU]

Даден е квадрат ABCD. През върховете му A,B,C и D са построени съответно прави a,b,c и d такива, че a//c//BD и b//d//AC. При пресичането си тези прави образуват четириъгълник MNPQ. Ако лицето на квадрата ABCD е 40,5 кв.см, то периметърът на четириъгълника MNPQ е ?

// означава успоредна

Лодка тръгнала от пристанище А срещу течението на реката. Едновременно с нея от пристанище А тръгнал сал. След като се движила 1ч и 50 мин, лодката се върнала веднага обратно и настигнала сала на 16,5 км от А.
а) Колко часа се е движил салът от тръгването си до момента, в който е бил настигнат от лодката?
б) Намерете скоростта на течението на реката.

[FlikoU]

Ако може някой да ги реши, защото ми трябват за днес.

[martin123456]

1
[tex]a \cap d =M[/tex], [tex]a \cap b =N[/tex], [tex]b \cap c =P[/tex], [tex]c \cap d =Q[/tex], [tex]AC \cap BD =O[/tex].
четириъгълникът [tex]MNPQ[/tex] е правоъгълник - от успоредността има прави ъгли, понеже [tex]AC \bot BD[/tex].
аналогично [tex]MACQ, ACPN, MDBN, QDBP[/tex] са правоъгълници
значи [tex]P_{MNPQ}=2AC+2DB=4AC[/tex]
сега [tex]S_{ABCD}=S_{ADB}+S_{DBC}=\frac{AO.BD}{2}+\frac{OC.DB}{2}=\frac{AC.BD}{2}=\frac{AC^2}{2}=40.5[/tex]=>[tex]AC=81 \Leftrightarrow (AC+9)(AC-9)=0 \Leftrightarrow AC=9 \Leftrightarrow P_{MNPQ}=36[/tex]

[ammornil]

Лодка тръгнала от пристанище А срещу течението на реката. Едновременно с нея от пристанище А тръгнал сал. След като се движила 1ч и 50 мин, лодката се върнала веднага обратно и настигнала сала на 16,5 км от А.
а) Колко часа се е движил салът от тръгването си до момента, в който е бил настигнат от лодката?
б) Намерете скоростта на течението на реката.
----------------------------------------------------
Вариант 1: Салът се е движил по течението на реката
Нека скоростта на сала в спокойна вода отбележим с "a" km/h (в частен случай по-късно ще разгледаме тя да е нула);
Нека скоростта на лодката в спокойна вода да отбележим с "b" km/h;
Нека скоростта на течението на реката отбележим с "x" km/h, а общото време за движение до срещата отбележим с "y" h.
Тъй като телата са започнали едновременно движение => ,че и двете са се движили общо "у" h. За това време салът е изминал път [tex]\frac{33}{2 }[/tex] km. За движението на сала (с допускане, че се е движил равномерно) е в сила равенството: (ур.1) [tex](a+x).y=\frac{33}{2 }[/tex].
За даденото по условие време от [tex]\frac{11}{ 6}[/tex] часа нека лодката се е придвижила срещу течението на реката до точка А'. Разстоянието |АА'| се определя с израза: [tex]|AA'|=(b-x).\frac{11}{ 6}[/tex]. Тогава пътят, който лодката е изминала от точка А' до мястото на срещата със сала е равен на [tex](b-x).\frac{11}{6 } +\frac{33}{2 }[/tex]. За движението на лодката по течението на реката е в сила: [tex](b+x)(y-\frac{11}{ 6})=(b-x).\frac{11}{6 } +\frac{33}{2 }[/tex]. Това уравнение може да се опрости. След разкриване на скобите получаваме:

[tex]b.y-\frac{11}{ 6}.b +x.y -\frac{11}{ 6}.x=\frac{11}{ 6}.b -\frac{11}{ 6}.x +\frac{33}{2 }[/tex] <=> (ур.2)
[tex]b.y +x.y -\frac{22}{ 6}.b= \frac{33}{2 }[/tex]. Равенства 1 и 2 имат равни десни страни, следователно и левите страни трябва да са равни. (Ако сте учили вече системи уравнения с две неизвестни, запишете уравненията едно под друго, извадете ги почленно и ще остане линейно уравнение за "y"). Приравняваме левите страни на двете уравнения и получаваме: [tex](a+x).y = b.y +x.y -\frac{22}{ 6}.b[/tex] <=> [tex]a.y +x.y = b.y +x.y -\frac{22}{ 6}.b[/tex] <=> [tex]a.y +x.y -b.y -x.y = -\frac{22}{ 6}.b[/tex] <=> [tex](a-b).y = -\frac{22}{ 6}.b[/tex] след като съкртим на две в дробта [tex]\frac{22}{6 }[/tex] и умножим двете страни с (-1) получаваме: [tex](b-a).y= \frac{11}{ 3}.b[/tex] или [tex]y=\frac{11.b}{3.(b-a) }[/tex] часа.
От уравнение 1 ще изразим "х". [tex]a.y +x.y =\frac{33}{2 }[/tex] <=> [tex]x.y = \frac{33}{2 } -a.y[/tex] или[tex]2.x.y = 33 -2.a.y[/tex] <=> [tex]x= \frac{33}{2.y } -a[/tex] или след заместване на "у": [tex]x= \frac{33}{ 2} .\frac{3.(b-a)}{11.b } -a[/tex] <=> [tex]x= \frac{9.(b-a)}{2.b } -a[/tex] km/h.

Ако допуснем, че скоростта на сала в спокойна вода е нула (салът се е движил само със скоростта на течението), тогава, скоростта на течените е била [tex]x= \frac{9.b}{2.b }[/tex] => [tex]x=\frac{9}{2 }=4,5[/tex] km/h и салът е бил застигнат от лодката след време [tex]y=\frac{11.b}{3.b }[/tex] => [tex]y= \frac{11}{3} =3\frac{2}{3 }[/tex] h.

Може да се разгледа вариант 2, където салът се е движел срещу течението на реката за сметка на външна сила, като в този случай крайния резултат ще си остане само параметричен, тъй като допускането "а=0" автоматично ни връща на вариант 1. Във втория вариант, уравнение 1 и 2 имат вида:

(ур.1) [tex](a-x).y =\frac{33}{ 2}[/tex]
(ур.2) [tex](b+x).(y-\frac{11}{ 6})= (b-x).\frac{11}{ 6} -\frac{33}{ 2}[/tex]

Не предлагам решение на този вариант, защото не съм убеден, че в седми клас имат достатъчно познания за да го решат. Все пак на желаещите да опитат, пожелавам приятни мигове.

[Гост]

Ако може някой да ги реши, защото ми трябват за днес.

[color=#400000]11 години по-късно, 11 години се опитвам да реша задачата, но най- после успях, след като видях, че някой от долу е написал решението ѝ. Едни пропиляни 11 години!
[/color]