Вътрешна точка в триъгълник и ъгли

[Гост]

Точка D е вътрешна за [tex]\triangle[/tex]АВС, като АD=СD=ВС. Ако [tex]\angle[/tex]ВАD=[tex]\alpha[/tex] и [tex]\angle[/tex]ВСD=[tex]2\alpha[/tex], да се докаже, че [tex]\angle[/tex]АВС=120[tex]^\circ[/tex]-[tex]\alpha[/tex].

[S.B.]

Точка D е вътрешна за [tex]\triangle[/tex]АВС, като АD=СD=ВС. Ако [tex]\angle[/tex]ВАD=[tex]\alpha[/tex] и [tex]\angle[/tex]ВСD=[tex]2\alpha[/tex], да се докаже, че [tex]\angle[/tex]АВС=120[tex]^\circ[/tex]-[tex]\alpha[/tex].

Построявам [tex]DM\bot AB[/tex] и [tex]CN \bot BD[/tex]
Разглеждам [tex]\triangle DBC :[/tex] [tex]CD = BC \Rightarrow \triangle DBC[/tex] е равнобедрен и тогава [tex]CN[/tex] се явява височина,медиана и ъглополовяща [tex]\Rightarrow DN = NB , \angle DCN = \angle BCN = \alpha[/tex]
[tex]AMD \cong \triangle NBC[/tex] защото:
1) [tex]AD = BC[/tex] ( по условие)
2) [tex]\angle MAD = \alpha , \angle BCN = \alpha \Rightarrow \angle MAD = \angle BCN[/tex]
3)[tex]DM \bot AB[/tex] и [tex]CN \bot DB \Rightarrow \angle AMD = \angle CNB = 90^\circ[/tex]
[tex]\Rightarrow DM = BN[/tex], но [tex]BN = DN \Rightarrow DB = 2.DM[/tex]
И понеже [tex]\triangle BDM[/tex] е правоъгълен [tex]\Rightarrow \angle MBD = 30^\circ[/tex]
От правоъгълния [tex]\triangle BNC[/tex] имаме [tex]\angle NCB = \alpha\Rightarrow \angle NBC = 90^\circ - \alpha[/tex]
[tex]\angle ABC = \angle MBD + \angle CBN = 30^\circ + 90^\circ - \alpha = 120^\circ - \alpha[/tex]