Вътрешна точка в триъгълник и ъгли 2

[Гост]

Точка D е вътрешна за [tex]\triangle[/tex]АВС, като СD=СВ=ВА. Ако [tex]\angle[/tex]ВАD=[tex]\alpha[/tex] и [tex]\angle[/tex]ВСD=[tex]2\alpha[/tex], да се намери [tex]\angle[/tex]АВС.

[math10.com]

7klas.png (30.22 KiB) Прегледано 234 пъти

[tex]\triangle BDC[/tex] е равнобедрен по условие [tex]BC=BD \Rightarrow \angle BDC=\angle DBC=\frac{180^\circ-2\alpha}{2}=90^\circ-\alpha[/tex]
Избираме точка [tex]E[/tex] от ъглополовящата на [tex]BCD[/tex] ,такава че [tex]CE=AD[/tex]
Разглеждаме [tex]\triangle ABD,\triangle CBE,\triangle CDE[/tex]
[tex]1.AB=BC=CD[/tex] по условие
[tex]2.AD=CE[/tex] по построение
[tex]3.\angle BAD=\angle DCE=\angle BCE=\alpha[/tex]
[tex]\Rightarrow \triangle ABD \cong \triangle CBE \cong \triangle CDE[/tex] по 1-ви признак
[tex]\angle ADB=\angle DEC=\angle BEC[/tex] , като СЕЕТ
[tex]\Rightarrow DB=DE=BE[/tex] , като СЕЕТ [tex]\Rightarrow \triangle DEB[/tex] е равностранен
[tex]\angle DEC+\angle BEC+\angle DEB=360^\circ \Rightarrow \angle DEC=\angle BEC=\frac{360^\circ -60^\circ }{2}=150^\circ[/tex]
Ако този факт не е познат на 7-мо класниците то лесно се намира [tex]\angle DEC=150^\circ[/tex] , като продължим [tex]CE[/tex] до пресичането и с [tex]BD[/tex] и използваме теорията за съседни ъгли (сборът им е [tex]180^\circ[/tex]), теорията за сбор от ъглите на триъгълник (сборът им е [tex]180^\circ[/tex]) и теорията за ъглополовяща към основата на равнобедрен триъгълник (че тя е и височина т.е. е перпендикулярна на основата)
[tex]\Rightarrow DBA=\angle EDC=\angle EBC=180^\circ-(150^\circ+\alpha)=30^\circ-\alpha[/tex]
[tex]\Rightarrow \angle ABC=\angle DBA+\angle DBE+\angle CBE=30^\circ-\alpha+60^\circ+30^\circ-\alpha=120^\circ - 2\alpha[/tex]