Вътрешна точка в триъгълник и ъгли 5

[Гост]

Точка [tex]D[/tex] е вътрешна за [tex]\triangle[/tex][tex]ABC[/tex], като [tex]\measuredangle DAB[/tex] [tex]=18^\circ[/tex] и [tex]\measuredangle DBA[/tex] [tex]=30^\circ[/tex]. Ако [tex]AC=BC[/tex] и [tex]\measuredangle ACB[/tex] [tex]=96^\circ[/tex], да се намери [tex]\angle ACD[/tex].

[ева]

Получавам отговор 78[tex]^\circ[/tex] ,но използвам нещо,което не мога да докажа.

[ptj]

[tex]\angle{CBD}=\angle{CAD}=\frac{180^\circ-96^\circ}{2}=42^\circ[/tex]

[tex]\angle{CAD}=42^\circ-30^\circ=12^\circ[/tex]
[tex]\angle{CBD}=42^\circ-18^\circ=24^\circ[/tex]
[tex]\angle{DCA}=x[/tex]
[tex]\angle{CDA}=180^\circ-12^\circ-x=162^\circ-x[/tex]
[tex]\angle{BDA}=180^\circ-30^\circ-18^\circ=132^\circ[/tex]
[tex]\angle{CDB}=360^\circ-132^\circ-(162^\circ-x)=66^\circ+x[/tex]
[tex]96^\circ-x=\angle{BCD}=180^\circ-12^\circ-(66^\circ+x)=102^\circ-x \Rightarrow[/tex]
[tex]\Rightarrow 2x=102^\circ+96^\circ=198^\circ[/tex]
[tex]x=99^\circ[/tex]

[ptj]

Горе имам техническа грешка. Правилно е:
[tex]\angle{CBD}=\angle{CAD}=\frac{180^\circ-96^\circ}{2}=42^\circ[/tex]

[tex]\angle{CAD}=42^\circ-30^\circ=12^\circ[/tex]
[tex]\angle{CBD}=42^\circ-18^\circ=24^\circ[/tex]
[tex]\angle{DCA}=x[/tex]
[tex]\angle{CDA}=180^\circ-24^\circ-x=156^\circ-x[/tex] (тук бях объркал единия ъгъл)
[tex]\angle{BDA}=180^\circ-30^\circ-18^\circ=132^\circ[/tex]
[tex]\angle{CDB}=360^\circ-132^\circ-(156^\circ-x)=72^\circ+x[/tex]
[tex]96^\circ-x=\angle{BCD}=180^\circ-12^\circ-(72^\circ+x)=90^\circ-x \Rightarrow[/tex]
[tex]\Rightarrow 2x=90^\circ+96^\circ=186^\circ[/tex]
[tex]x=93^\circ[/tex]

[ева]

Поясни как на 2 ред [tex]\angle[/tex]CAD=42[tex]^\circ[/tex],a на 3 ред [tex]\angle[/tex]CAD=12[tex]^\circ[/tex] .
Утре ще пратя своето решение.

Скрит текст: покажи

В него два пъти ползвам еднакви триъгълници.

[Гост]

да, 78 получавам

[Гост]

5.PNG (67.27 KiB) Прегледано 262 пъти

Ето едно решение:

Построявaме точка [tex]C'[/tex] така, че [tex]\angle C'AC=\angle C'BC=18^\circ[/tex]
[tex]\therefore \triangle ABC'[/tex] е равностранен
[tex]\triangle C'AC\cong \triangle C'BC[/tex] (първи признак)
[tex]\therefore \angle AC'C=\angle BC'C=30^\circ[/tex]
[tex]\triangle C'AC\cong \triangle BAD[/tex] (втори признак)
[tex]\therefore AC=AD[/tex]
[tex]\therefore \angle ACD=78^\circ[/tex]. [tex]_\square[/tex]

https://www.youtube.com/watch?v=kPYBn8VcdXk

[ева]

Нека т.М е среда на отс.АВ,т.Р е пресечната т.на AD и СМ,правата BD пресича СМ в т.Т.
Достатъчно е да намерим [tex]\angle[/tex]DCM=[tex]\alpha[/tex]=?
1 [tex]\triangle[/tex]АТС[tex]\cong[/tex][tex]\triangle[/tex]ТВС (1 пр.)[tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]САТ=[tex]\angle[/tex]СВТ=12[tex]^\circ[/tex] (1)
2Тогава [tex]\angle[/tex]TAD=12[tex]^\circ[/tex] (2)
3 В [tex]\triangle[/tex]АМР [tex]\angle[/tex]МРА=72[tex]^\circ[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] връхният [tex]\angle[/tex]DPT=72[tex]^\circ[/tex];разглеждаме [tex]\triangle[/tex]PDT [tex]\angle[/tex]PDT=180[tex]^\circ[/tex]-72[tex]^\circ[/tex]-60[tex]^\circ[/tex]=48[tex]^\circ[/tex] (3)
4 Разгл.[tex]\triangle[/tex]ADT и [tex]\triangle[/tex]ATC
а)АТ=АТ
б)[tex]\angle[/tex]TAD=[tex]\angle[/tex]TAC (от (1),(2))
в)[tex]\angle[/tex]DTA=[tex]\angle[/tex]CTA (виж (3)) [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\triangle[/tex]ADT[tex]\cong[/tex][tex]\triangle[/tex]ATC (2 пр.) [tex]\Rightarrow[/tex] DT=CT [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\triangle[/tex]DCT е равнобедрен

Скрит текст: покажи

Най-накрая успях да го докажа.

5 В равнобедрения [tex]\triangle[/tex]ADC (48[tex]^\circ[/tex]+[tex]\alpha[/tex])+(48[tex]^\circ[/tex]+[tex]\alpha[/tex])+24[tex]^\circ[/tex]=180[tex]^\circ[/tex]
[tex]\alpha[/tex]=30[tex]^\circ[/tex]
6 [tex]\angle[/tex]ACD=[tex]\angle[/tex]ACM+[tex]\angle[/tex]DCM=48[tex]^\circ[/tex]+[tex]\alpha[/tex]=48[tex]^\circ[/tex]+30[tex]^\circ[/tex]=78[tex]^\circ[/tex]
[tex]\angle[/tex]ACD=78[tex]^\circ[/tex]

[ptj]

Тотално съм омазал всичко.
Ето правилната конфигурация.

tr.JPG (81.48 KiB) Прегледано 241 пъти

Може да се докаже единственост на построениението, т.е. това е единственото решение.