Задача от темата Еднакви триъгълници

[Гост]

В четириъгълник АВСД ВС=16 см, АД=АВ и ∢А: ∢В: ∢С: ∢Д = 6:7:6:5 . Ако симетралите на страните АД и СД се пресичат в точка О, намерете лицето на триъгълник АОС.

[Евва]

64 [tex]см^{2}[/tex] ли е отговорът ?

[Гост]

Да

[Евва]

[tex]\angle[/tex]A=6[tex]\alpha[/tex],[tex]\angle[/tex]B=7[tex]\alpha[/tex],[tex]\angle[/tex]C=6[tex]\alpha[/tex],[tex]\angle[/tex]D=5[tex]\alpha[/tex] ; 6[tex]\alpha[/tex]+7[tex]\alpha[/tex]+6[tex]\alpha[/tex]+5[tex]\alpha[/tex]=360[tex]^\circ[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\alpha[/tex]=15[tex]^\circ[/tex] тогава
[tex]\angle[/tex]A=[tex]\angle[/tex]C=90[tex]^\circ[/tex],[tex]\angle[/tex]B=105[tex]^\circ[/tex],[tex]\angle[/tex]D=75[tex]^\circ[/tex]
Около четириъгълника ABCD може да се опише окр.K(O;R)

Скрит текст: покажи

Центърът-т.О е същата тази точка получена при пресичането на симетралите на страните AD,CD.

По условие [tex]\triangle[/tex]BDA е равнобедрен [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]ABD=[tex]\angle[/tex]BDA=45[tex]^\circ[/tex],тогава [tex]\angle[/tex]DBC=60[tex]^\circ[/tex],a [tex]\angle[/tex]BDC=30[tex]^\circ[/tex].
В правоъг.[tex]\triangle[/tex]BCD срещу [tex]\angle[/tex]30[tex]^\circ[/tex] лежи катета ВС [tex]\Rightarrow[/tex] BC=[tex]\frac{BD}{2}[/tex] т.е. 16=[tex]\frac{BD}{2}[/tex]=[tex]\frac{2R}{2}[/tex]=R;Намерихме R=16 см.
[tex]\triangle[/tex]ВСО е равнобедрен с [tex]\angle[/tex]ОВС=60[tex]^\circ[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] е равностранен т.е.[tex]\angle[/tex]ВОС=60[tex]^\circ[/tex] (1)
Точка О-среда на BD т.е.АО е медиана,но и височина в равнобедрения [tex]\triangle[/tex]ABD [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]BOA=90[tex]^\circ[/tex] (2)
(от (1) и (2) ) [tex]\angle[/tex]АОС=150[tex]^\circ[/tex],но [tex]\triangle[/tex]АОС е равнобедрен [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]АСО=[tex]\angle[/tex]САО=[tex]\frac{180^\circ-150^\circ}{2}[/tex]=15[tex]^\circ[/tex] (3)
Нека т.Н е среда на отс.АС,а Н[tex]Н_{1 }[/tex] е височина в [tex]\triangle[/tex]ОАН.
Мадианата ОН се явява и височина в равнобедр.[tex]\triangle[/tex]АОС [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\triangle[/tex]НОА е правоъгълен и еднакъв с [tex]\triangle[/tex]НОС.

В правоъгълния [tex]\triangle[/tex]НОА имаме [tex]\angle[/tex]НАО=[tex]\angle[/tex]САО=15[tex]^\circ[/tex] [от (3)]
Според Теорема височината Н[tex]Н_{1 }[/tex] към хипотенузата ОА ще е 4 пъти по-малка от хипотенузата.
Н[tex]Н_{1 }[/tex]=[tex]\frac{ОА}{4}[/tex]=[tex]\frac{R}{4}[/tex]=[tex]\frac{16}{4}[/tex]=4 см. получихме Н[tex]Н_{1 }[/tex]=4 см.

Скрит текст: покажи

Целият този труд бе, за да намерим R и Н[tex]Н_{1 }[/tex].Сега става лесно.

[tex]S_{AOC }[/tex]=2[tex]S_{AOH }[/tex]=2.[tex]\frac{OA.HH_{1 }}{2}[/tex]=R.H[tex]H_{1 }[/tex]=16.4=64 [tex]см^{2}[/tex]