Геометрични фигури

[Гост]

1. Докажете, че в успоредник срещу по-големия диагонал лежи тъп ъгъл, а срещу по-малкия- остър ъгъл.
2. В триъгълник АВС с периметър 2р, страните са : АВ=с , ВС=а, СА=b. Ако Д е произволна точка от страната ВС, докажете, че р-а<AD<p
3.Докажете, че във всеки триъгълник сборът от дължините на височините е по-малък от периметъра на триъгълника.
4. Даден е равнобедрен триъгълник АВС с основа АВ, ъглополовяща AL към бедрото и <ALC=108. Намерете ъглите на триъгълника.
5. Докажете, че М се дели на 6 за всяко естествено число :
а) М=nx^{3} - n
b)M = nx^{5} - n
c)M = nx^{4} +3n-nx^{2} -3n
6. Височините през върха на тъп ъгъл на успоредник сключват ъгъл 30. Намерете ъглите на успоредника.
7. Даден е успоредник АБСД. Ъглополовящата на <BAD пресича ВС и правата DC=F, така че ВЕ=2 см, FC=5 cm, <AEB=25. Намерете ъглите и периметъра на успоредника.

[Евва]

3 зад.Нека А[tex]Н_{1 }[/tex],В[tex]Н_{2 }[/tex] и С[tex]Н_{3 }[/tex] са височините в [tex]\triangle[/tex]АВС.
Разглеждаме правоъгълния [tex]\triangle[/tex]АВ[tex]Н_{1 }[/tex].

Скрит текст: покажи

Във всеки триъгълник с/у по-голям ъгъл лежи по-голяма страна.

90[tex]^\circ[/tex]=[tex]\angle[/tex]А[tex]Н_{1 }[/tex]В>[tex]\angle[/tex][tex]\beta[/tex]

АВ>А[tex]Н_{1 }[/tex] (1)

По същия начин доказваме,че: ВС>В[tex]Н_{2 }[/tex] (2) и АС>С[tex]Н_{3 }[/tex] (3) [Събираме трите неравенства.]

АВ+ВС+АС>А[tex]Н_{1 }[/tex]+В[tex]Н_{2 }[/tex]+С[tex]Н_{3 }[/tex]

[tex]h_{a }[/tex]+[tex]h_{b }[/tex]+[tex]h_{c }[/tex]<[tex]P_{\triangleАВС }[/tex]