Геометрична задача

[Гост]

Височините AA1 и CC1 на остроъглния триъгълник АBC се пресичат в точка O. Докажете, че ако AO=CO, то AB=CB

[Davids]

Ще ознaчим $\angle B = \beta$, тогава $\angle AOC = \angle A_1OC_1 = 180° - \beta$. Понеже $AO = CO$, то $\angle OAC = \angle OCA = \frac{\beta}{2}$.
Паралелно с това имаме $\angle BCC_1 = \angle BAA_1$, понеже $\triangle ABA_1 \sim \triangle CBC_1$. С това общо взето търсеното е доказано.

[Евва]

7 клас не са учили подобни тр-ци.
Аз 2 пъти доказвам еднаквост на триъгълници,така я реших.

[Davids]

7 клас не са учили подобни тр-ци.
Аз 2 пъти доказвам еднаквост на триъгълници,така я реших.

Правилно, не са учили. Обаче е достатъчно също да посочим, че $O$ е ортоцентър на триъгълника, следователно височината към $BB_1$ минава през същата точка. Обаче $OB_1$ е височина в равнобедрения $\triangle AOC$, откъдето и $AB_1 = B_1C$ и така целия триъгълник ни излиза равнобедрен, понеже и $BB_1$ се явява едновременно височина и медиана.