Геометрична задача

[Гост]

Даден е остроъгълният триъгълник ABC, в който симетралата на страната AB и височината BB1 (B1 лежи на AC) се пресичат в точка от страната AC. Височината AA1 (A1 лежи BC) пресича BB1в точка H и M е средата на отсечката CH.
а) Ако ъгъл ABC е 70 градуса, намерете другите два ъгъла на триъгълник ABC
б) Докажете,че MA1+MB1=CH
в) Докажете, че ъгъл A1MB1= 2 ъгъл ACB

[S.B.]

Без заглавие (94).png (165.37 KiB) Прегледано 494 пъти

Даден е остроъгълният триъгълник ABC, в който симетралата на страната AB и височината BB1 (B1 лежи на AC) се пресичат в точка от страната AC. Височината AA1 (A1 лежи BC) пресича BB1в точка H и M е средата на отсечката CH.
а) Ако ъгъл ABC е 70 градуса, намерете другите два ъгъла на триъгълник ABC
б) Докажете,че MA1+MB1=CH
в) Докажете, че ъгъл A1MB1= 2 ъгъл ACB

Височината $BB_{1 }$ и симетралата на $AB$ се пресичат в т.$B_{1 }$. В противен случай ще излезе,че $BB_{1 }$ и $AC$ имат две общи точки което е невъзможно,защото тогава би трябвало $BB_{1 } \equiv AC$
a) [tex]\triangle ABB_{1 }[/tex] е равнобедрен и правоъгълен ($SB_{1 }$ е симетрала,а $BB_{1 }$ е височина) $ \Rightarrow \angle BAC = 45^\circ$
Получи се: $\angle A = 45^\circ,\angle B = 70^\circ $ (по условие) $ \Rightarrow \angle C = 65^\circ $
б)$\triangle HB_{1 }C$ е правоъгълен ($ BB_{1 } \bot AC$), $B_{1 }M$ е медиана ($M$ е среда на $HC$),$\Rightarrow B_{1 }M = \frac{HC}{2}$
Аналогично $\triangle HA_{1 }C$ е правоъгълен и медианата $A_{1 }M = \frac{HC}{2}$
Получаваме : $A_{1 }M + B_{1 }M = 2.\frac{HC}{2} = HC$
в)$\angle B_{1 }CM = \angle MB_{1 }C$ защото $CM = B_{1 }M = \frac{CH}{2}$.
$\angle B_{1 }MH$ е външен за $\triangle B_{1 }MC \Rightarrow \angle B_{1 }MH = 2\angle B_{1 }CM$
Аналогично в $\triangle CMA_{1 }$:
$\angle HMA_{1 }$ е външен за $\triangle CMA_{1 } \Rightarrow \angle HMA_{1 } = 2\angle MCA_{1 }$
$\angle A_{1 }MB_{1 } = \angle A_{1 }MH +\angle B_{1 }MH = 2\angle B_{1 }CM + 2\angle A_{1 }CM = 2 \angle A_{1 }CB_{1 } = 2\angle ACB$