Остроъгълен триъгълник,7 клас

[Гост]

Даден е [tex]\triangle ABC[/tex],в който [tex]\angle A =80^\circ,\angle C = 60^\circ[/tex].
Точката $M$ е вътрешна за триъгълника и такава,че [tex]\angle MAC = \angle MCA = \angle MBC = \frac{1}{6}\angle AMB[/tex].
a) Намерете мерките на ъглите на триъгълниците $ABM , BCM , CAM$.
б) Симетралата на отсечката $BM$ пресича страната $BC$ на $\triangle ABC$ в т.$P$ .Отсечките $AP$ и $BM$ се пресичат в т. $Q$.Докажете,че $AM = QM$.

[S.B.]

Без заглавие (5).png (244.77 KiB) Прегледано 340 пъти

Даден е [tex]\triangle ABC[/tex],в който [tex]\angle A =80^\circ,\angle C = 60^\circ[/tex].
Точката $M$ е вътрешна за триъгълника и такава,че [tex]\angle MAC = \angle MCA = \angle MBC = \frac{1}{6}\angle AMB[/tex].
a) Намерете мерките на ъглите на триъгълниците $ABM , BCM , CAM$.
б) Симетралата на отсечката $BM$ пресича страната $BC$ на $\triangle ABC$ в т.$P$ .Отсечките $AP$ и $BM$ се пресичат в т. $Q$.Докажете,че $AM = QM$.

а)$\angle A = 80^\circ , \angle C = 60^\circ \Rightarrow \angle B = 40^\circ$
Ако $\angle CAM = \alpha$ , от $\angle CAM = \angle ACM = \angle CBM = \frac{1}{6}\angle AMB \Rightarrow \angle ACM = \angle CBM = \alpha , \angle AMB = 6\alpha$
Разглеждам $\triangle ABM : \angle MAB = 80^\circ - \alpha , \angle ABM = 40^\circ - \alpha ,\angle AMB = 6\alpha$
По теоремата за сбора на ъглите в триъгълника имаме: $80^\circ - \alpha + 40^\circ - \alpha + 6\alpha = 180^\circ$ от където $\alpha = 15^\circ$
$\triangle ABM : 90^\circ , 65^\circ ,25^\circ$
$\triangle ACM : 15^\circ ,15^\circ ,150^\circ$
$ \triangle BCM : \angle BCM = 360^\circ - (\angle AMC + \angle AMB) = 360^\circ - 240^\circ = 120^\circ$ ,другите ъгли са $ 15^\circ ,45^\circ$
б) $S$ е симетрала на $MB$ и пресича $BC$ в т. $P$.От свойството точка принадлежаща на симетралата $\Rightarrow MP = BP$
Тогава $\triangle MBP$ е равнобедрен и $\angle PMB = \angle MBP = 15^\circ \Rightarrow \angle CMP = 120^\circ - 15^\circ = 105^\circ$ ,
$\angle AMP = 90^\circ + 15^\circ = 105^\circ$
$\triangle CMP \cong \triangle AMP$ по I -ви признак - $MP - $ обща ,$AM = MC,\angle CMP = \angle AMP = 105^\circ$
$\Rightarrow \angle MAP = \angle MCP = 45^\circ $
Тогава за $\triangle AMQ ,\angle AMQ = 90^\circ , \angle MAQ = 45^\circ \Rightarrow $ триъгълникът е равнобедрен,правоъгълен $\Rightarrow AM = MQ$