Геометрия 7 клас

[Гост]

Даден е [tex]\triangle ABC[/tex],в който [tex]\angle BAC = 60^\circ[/tex] и $AL,(L\in BC)$ е ъглополовяща.Точка $D$ е от вътрешността на [tex]\triangle ABL[/tex] и [tex]DP \bot AL,(P\in AL) , DN \bot AC, (N\in AC)[/tex] Точка $K$ е среда на отсечката $AD$.Докажете,че:
а)$\triangle KPN$ е равностранен;
б) $PN > PD$

[S.B.]

Без заглавие (6).png (201.89 KiB) Прегледано 288 пъти

Даден е [tex]\triangle ABC[/tex],в който [tex]\angle BAC = 60^\circ[/tex] и $AL,(L\in BC)$ е ъглополовяща.Точка $D$ е от вътрешността на [tex]\triangle ABL[/tex] и [tex]DP \bot AL,(P\in AL) , DN \bot AC, (N\in AC)[/tex] Точка $K$ е среда на отсечката $AD$.Докажете,че:
а)$\triangle KPN$ е равностранен;
б) $PN > PD$

От правоъгълния [tex]\triangle AND[/tex] : $NK$ е медиана [tex]\Rightarrow NK = \frac{AD}{2}[/tex]
От правоъгълния [tex]\triangle APD[/tex] :$PK$ е медиана [tex]\Rightarrow PK = \frac{AD}{2} \Rightarrow PK = NK[/tex] т.е. $\triangle NPK$ е равнобедрен;
а)
От [tex]\triangle ADP :\angle KAP = \angle APK = 30^\circ - x \Rightarrow \angle AKP = 180^\circ - 2(30^\circ - x) = 120^\circ + 2x[/tex]
От [tex]\triangle ADN : \angle KAN = \angle ANK = 60^\circ - x , \angle AKN = 180^\circ - 2(60^\circ -x) = 180^\circ - 120^\circ + 2x = 60^\circ + 2x[/tex]
[tex]\angle NKP = \angle AKP - \angle AKN = 120^\circ + 2x - (60^\circ + 2x) = 60^\circ \Rightarrow \triangle NKP[/tex] е равностранен.
б)
$\triangle NKP$ е равностранен $\Rightarrow KP = NP$
$\triangle KPD :$
$\angle DKP = 2(30^\circ - x) = 60^\circ - 2x$ (като външен ъгъл за $\triangle AKP$)
$\angle KPD = 90^\circ - (30^\circ - x) = 60^\circ + x$
$60^\circ + x > 60^\circ - 2x \Rightarrow \angle KDP > \angle DKP \Rightarrow PD < KP$ ,но $KP = PN \Rightarrow PD < PN$