Геометрична задача

[ilianaarts]

Здравейте! Решавам задачи от помагалото на Таня Петкова-“20 примерни теста за “матурата” по математика в 7 клас ”Имам затруднение с една задача от втория модул. Иска се пълното решение , но аз не се сещам как да я реша.Моля за решение,за да я разбера.
Външните ъгли на триъгълник се отнасят като три последователни естествени числа. Ако ъгълът между височината и ъглополовящата , построени през върха на средния по големина ъгъл на триъгълника е 26[tex]^\circ[/tex],да се намерят градусните мерки на ъглите на триъгълника.

[S.B.]

Без заглавие (37).png (185.1 KiB) Прегледано 370 пъти

Външните ъгли на триъгълник се отнасят като три последователни естествени числа. Ако ъгълът между височината и ъглополовящата , построени през върха на средния по големина ъгъл на триъгълника е 26[tex]^\circ[/tex],да се намерят градусните мерки на ъглите на триъгълника.

От чертежа: [tex]\alpha < \beta < \gamma \Rightarrow[/tex] за съответните външни ъгли :[tex]180 - \alpha > 180 - \beta > 180 - \gamma[/tex]
Тогава [tex](180 - \gamma) : (180 - \beta) : (180 - \alpha) = (n - 1) : n : (n + 1)[/tex]
Където трите последователни естествени числа са : $ n - 1 ,n , n + 1$
Тогава ;[tex](180 - \gamma) = (n-1)x ,(180 - \beta) = nx, (180 - \alpha) = (n + 1)x[/tex]
$(180 - \gamma) + (180 - \beta) + (180 - \alpha) = 360^\circ \Rightarrow (n - 1)x + nx + (n + 1)x = 360^\circ \Leftrightarrow$
$ nx - x + nx + nx + x = 360^\circ \Leftrightarrow 3nx = 360^\circ \Rightarrow nx = 120^\circ$
[tex]\begin{cases} nx = 120^\circ \\ 180^\circ - \beta = nx\end{cases} \Rightarrow 180^\circ - \beta = 120^\circ \Rightarrow \beta = 60^\circ \Rightarrow \angle LBC = 30^\circ \Rightarrow \angle HBC = 30^\circ - 26^\circ = 4^\circ[/tex]
От [tex]\triangle HBC[/tex] (правоъгълен) $ \Rightarrow \gamma = 90^\circ - \angle HBC = 90^\circ - 4^\circ = 86^\circ$
Получихме : $\beta = 60^\circ , \gamma = 86^\circ \Rightarrow \alpha = 34^\circ$

[ilianaarts]

Много Ви благодаря ! Разбрах я!

[KOPMOPAH]

Без да критикувам решението на S.B. бих изказал "некои съображения".

Ако ъглите на триъгълника са $\beta=60^\circ$, $\gamma=86^\circ$ и $\alpha=34^\circ$, за външните ъгли получаваме (подредени съответно в нарастващ ред) $94^\circ$, $120^\circ$ и $146^\circ$. Те образуват аритметична прогресия (нещо непознато за седмокласник), но не се отнасят както "три последователни естествени числа". За да се отнасят както три последователни естествени числа, трябва да си представим разложението на числото $120=2.2.2.2.3.5$ и от него да получим някоя възможна тройка от рода $\Big(115_{=23.5};120_{=24.5};125_{=25.5}\Big)$, които се отнасят като $23:24:25$. Или друга тройка $\Big(117_{=39.3};120_{=40.3};123_{=41.3}\Big)$, които се отнасят като $39:40:41$ - въобще има варианти. Може би думичката "последователни" трябва да отпадне от условието? Най-простото нещо, което може да хрумне на едно дете от 7 клас е това, че ако единият външен ъгъл е $120^\circ$, то другите са съответно $119^\circ$ и $121^\circ$ и това наистина са три ПОСЛЕДОВАТЕЛНИ естествени числа. Тогава пък ъгълът от $26^\circ$ е напълно излишен и противоречив. Пълна бъркотия.

Къде е стената на позора да закачим поредния "автор" с неговото "помагало" за седми клас?