Успоредник

[Ivana_petkova]

Ако в успоредника ABCD AB=a, BC= b, AC=d1, BD= d2, Докажете, че:
а) d1+d2< 2a+2b
б) d1+d2>a+b.

[Добромир Глухаров]

Неравенство в $\Delta ABC:\ AB+BC>AC;\ d_1<a+b$
Неравенство в $\Delta ABD:\ AB+AD>BD;\ d_2<a+b$
$\Rightarrow d_1+d_2<2a+2b$

Построяваме продължение на $AB$ - $BM=DC$. $BMCD$ също е успоредник ($AM=AB+BM=a+b,\ MC=BD=d_2$). $\Delta AMC$ - неравенство - $AM>MC+AC;\ a+b<d_2+d_1\Rightarrow d_1+d_2>a+b$

[Добромир Глухаров]

Благодаря на S.B., че ме поправи за б) подточка на Л.С. Всъщност моето решение на б) подточка е изцяло грешно. Трябва да бъде нещо такова:

Нека т. $O=AC\cap BD$. Тогава $\Delta AOB\Rightarrow AO+OB>AB;\ \frac{d_1}{2}+\frac{d_2}{2}>a(1)$. Също така от $\Delta BOC\Rightarrow BO+OC>BC;\ \frac{d_2}{2}+\frac{d_1}{2}>b(2)$. Като съберем $(1)$ и $(2)$, получаваме $d_1+d_2>a+b$