Геометрия

[Гост]

Даден е успоредник АBCD. Външно за него са построени квадратите ADMN и DCPQ. Намерете ъглите на триъгълника NBP

[Добромир Глухаров]

$\Delta NAB\cong\Delta BCP$, по Първи признак:

$1)NA=AD=BC$
$2)AB=DC=CP$
$3)\angle NAB=\angle NAD+\angle DAB=90^\circ+\angle DCB=\angle DCP+\angle DCB=\angle BCP$

Следователно $NB=BP$

Нека $\angle DAB=\alpha<90^\circ$

$\angle NBP=\angle ABC-\angle ABN-\angle PBC=(180^\circ-\alpha)-(\angle ABN+\angle PBC)=(180^\circ-\alpha)-(\angle ABN+\angle ANB)=(180^\circ-\alpha)-(180^\circ-\angle NAB)=\angle NAB-\alpha=(\angle NAD+\angle DAB)-\alpha=(90^\circ+\alpha)-\alpha=90^\circ$

Следователно $\Delta NBP$ - правоъгълен равнобедрен.

Следователно $\angle NBP=90^\circ;\angle PNB=45^\circ;\angle NPB=45^\circ$.

Остава да се разгледа и другия случай, когато ъгъл $\alpha>90^\circ$