равнобедрен триъгълник

[Гост]

Даден е равнобедрен триъгълник АВС /АС=ВС/ с обиколка 19 см. Височините AP и BQ се пресичат в т.H, като AH=2HP. Колко е дължината на бедрото на този триъгълник?

[S.B.]

Даден е равнобедрен триъгълник АВС /АС=ВС/ с обиколка 19 см. Височините AP и BQ се пресичат в т.H, като AH=2HP. Колко е дължината на бедрото на този триъгълник?

Нещо не ми е ясно Ако $AH = 2PH \Rightarrow AH:PH = 2:1$ и тогава $AP = BQ$ се явяват освен височини и медианаи и би следвало,че [tex]\triangle ABC[/tex] е равностранен и бедрото $ = \frac{19}{3}$? Така ли е или нещо бъркате в условието?

[Гост]

Условието не е объркано.
Отговора е този, но вие как го получихте? Може ли по- подробно решение.
Благодаря

[S.B.]

Без заглавие (75).png (226.71 KiB) Прегледано 250 пъти

По условие [tex]\triangle ABC[/tex] е равнобедрен.Лесно се доказва $\triangle ABP \cong \triangle ABQ \Rightarrow PB = AQ$
Доказва се,че $AHQ \cong \triangle BHP$ (2- ри признак) $\Rightarrow HQ = HP , AH = BH$
$\triangle AHQ$ е правоъгълен ,$AH = 2HQ \Rightarrow \angle HAQ = 30^\circ ,\angle QHA = 60^\circ \Rightarrow \angle AHB = 120^\circ$
$AH = BH \Rightarrow \triangle AHB$ е равнобедрен ,$\angle AHB = 120^\circ \Rightarrow \angle ABH = \angle BAH = 30^\circ$
$ \angle A = \angle QAH + \angle BAH = 30^\circ + 30^\circ = 60^\circ$,но $\angle B = \angle A = 60^\circ \Rightarrow \angle C = 60^\circ$
Доказахме,че $\triangle ABC$ е равностранен със страни равни на $\frac{P}{3} = \frac{19}{3}$