Задача с квадрат от учебника на Архимед

[Гост]

В квадрата АВСD е построен лъч с начало точката В, който минава във вътрешността на квадрата и образува ъгъл 58 градуса с ВС. Ако точката Q е петата на перпендикуляра, спуснат от от точка D към построения лъч, намерете големината на ъгъл DСQ в градуси.

[S.B.]

Без заглавие (68).png (250.75 KiB) Прегледано 1420 пъти

В квадрата АВСD е построен лъч с начало точката В, който минава във вътрешността на квадрата и образува ъгъл 58 градуса с ВС. Ако точката Q е петата на перпендикуляра, спуснат от от точка D към построения лъч, намерете големината на ъгъл DСQ в градуси.

По условие [tex]\angle CBM = 58^\circ \Rightarrow \angle ABM = 32^\circ ,\angle AMB = \angle QMD = 58^\circ[/tex] от $\angle MQD = 90^\circ \Rightarrow \angle QDM = 32^\circ$
Построявам $CC_{1 } \bot BM , CC_{2 } \bot QD$ (т. $C_{2 } \in$ на продължението на $QD$)
$ \angle QDM + \angle MDC + \angle CDC_{2 } = 180^\circ \Leftrightarrow 32^\circ + 90^\circ + \angle CDC_{2 } = 180^\circ \Rightarrow \angle CDC_{2 } = 58^\circ$
$\triangle CBC_{1 } \cong \triangle CDC_{2 }$ По 2-ри признак :$CD = CB ,\angle C_{1 } = \angle C_{2 } = 90^\circ , \angle C_{1 }BC = \angle C_{2 }DC = 58^\circ$
$\Rightarrow CC_{1 } = CC_{2 } \Rightarrow$ точката $C$ е на равни разстояния от раменете на правия ъгъл $DQM$ от което следва,че т.$C$ принадлежи на ъглополовящата на този ъгъл или $$\angle MQC = \angle CQD = 45^\circ$$
За $\triangle CQD : \angle CQD = 45^\circ , \angle QDC = 32^\circ + 90^\circ = 122^\circ \Rightarrow \angle QCD = 13^\circ$