Ромб и квадрат

[Гост]

1.В ромба АВСD AC=10cm и мярката на ъгъл АВС=120 гр. Намерете Височината на ромба.
2. Върху страната АВ на квадрата ABCD е построен равностранен тр.АВМ, вътрешен за квадрата. Намерете Мярката на ъгъл МСD.

[Knowledge Greedy]

1. Ще използваме, че диагоалите на ромба са ъглополовящи на ъглите му.
Щом ъгъл [tex]\angle ABC=120^\circ[/tex], острият ъгъл на ромба е [tex]\angle BAD=60^\circ[/tex], а неговата половина - ъгъл [tex]\angle CAB(N)=30^\circ[/tex], където точката [tex]N[/tex] е петата на предикуляра от [tex]C[/tex] към продължението на [tex]AB[/tex].
Сега вече от [tex]\triangle ANC[/tex] - правоъгълен с остър ъгъл [tex]30^\circ[/tex] и височината [tex]CN=\frac{1}{2}AC[/tex] - като катет срещу [tex]30^\circ[/tex], следва [tex]CN=5[/tex].
2. След занимателна игра с с ъглите на един равностранен [tex]\triangle ABM[/tex] и три равнобедрени триъгълника ([tex]\triangle MDA, \triangle MDB[/tex] и [tex]\triangle MCD[/tex]), откриваме [tex]\angle MCD=15^\circ[/tex]

[Гост]

На зад. 2 не разбрах решението. Няма такъв тр. MBD. Чертежа сигурно не ми е верен, моля за подробности.

[Гост]

Очевидно става въпрос за триъгълника MCD. В кой триъгълник ще откриеш едноименен ъгъл? Явно не е MBD, а MCD!

[Knowledge Greedy]

Триъгълниците [tex]\triangle DMA[/tex] и [tex]\triangle BMC[/tex] са равнобедрени по условие.

Квадрат и равностранен 3-ъгълник.png (3.37 KiB) Прегледано 448 пъти

[tex]\begin{array}{|l} 1.) MA=MB=AB \\ 2.) AD=BC \\ 3.) \angle DAM = 90^\circ- 60^\circ = \angle CBM \end{array} \,\ \Rightarrow \triangle DMA \cong \triangle CMB[/tex] (първи признак за еднаквост).
Следователно [tex]DM=CM[/tex]. И още: [tex]\angle ADM=[/tex]...
Остана само да си поиграем с ъглите.
За тази цел трябва да знаем:
- колко е сборът на ъглите в триъгълник;
- как да намерим ъгъла при основата на равнобедрен триъгълник, ако знаем ъгъла при върха му;
- еднаквите триъгълници имат съответно равни ъгли.