Геометрия за НВО

[Гост]

Външно за правоъгълния [tex]\triangle ABC ,(\angle C = 90^\circ ,AB = 2AC )[/tex] е построен правоъгълникът $ABPE$ така,че $BP = BC$Точката $D$ е пета на перпендикуляра,спуснат от точката $E$ към $CP$.Точка $M$ е пресечната точка на $CP$ и $AB$.
а) Да се определи видът на четриъгълника $ADBC$;
б) Да се докаже,че $P_{\triangle EPM} > P_{\triangle ADE }$;
в) Да се докаже,че $ME$ е ъглополовяща на $\angle AMP$.

[Knowledge Greedy]

а) Правоъгълник

a bracket.png (4.59 KiB) Прегледано 285 пъти

б) Всяка страна на втория е височина на първия. Оттук следва, че периметърът на първия е по-голям от периметъра на втория (За по-големите [tex]\sqrt{3}[/tex] пъти.)

в) При доказателството на б) сме установили, че [tex]\triangle ADE[/tex] е равностранен, значи [tex]ED=EA[/tex],
а при решаването на а) - [tex]MD[/tex] и [tex]MA[/tex] са половинки на диагонали на правоъгълник, които са равни.
[tex]ME[/tex] е обща и следователно - по 3. -ти признак [tex]\triangle MED \cong \triangle MEA[/tex]

в bracket.png (8.06 KiB) Прегледано 285 пъти

От еднаквостта следва, че [tex]\angle DME= \angle AME[/tex], т.е. ME е ъглополовяща на [tex]\angle DMA[/tex]