Геометрична задача

[Гост]

За ABC е известно, че ъгъл CAB: ъгъл ABC: ъгъл BCA=3:1:2 и AC=12см. Външно за триъгълника е построен квадрат BCEF. Ако CF пресича BE в точка O и M е среда на BC, намерете лицето на триъгълник AOM в квадратни сантиметри.

[S.B.]

Без заглавие (39).png (265.43 KiB) Прегледано 417 пъти

За ABC е известно, че ъгъл CAB: ъгъл ABC: ъгъл BCA=3:1:2 и AC=12см. Външно за триъгълника е построен квадрат BCEF. Ако CF пресича BE в точка O и M е среда на BC, намерете лицето на триъгълник AOM в квадратни сантиметри.

[tex]\angle CAB : \angle ABC : \angle BCA = 3 : 1 : 2 ; \angle CAB = 3x , \angle ABC = x , \angle BCA = 2x \Rightarrow 6x = 180^\circ \Rightarrow x = 30^\circ[/tex]
[tex]\angle CAB = 90^\circ , \angle ABC = 30^\circ , \angle BCA = 60^\circ ; AC = 12 ,[/tex] лежи срещу $30^\circ \Rightarrow BC = 24$
$AM$ - медиана $ \Rightarrow AM = 12$
$CBFE$ - квадрат със страна $24$,$CF \cap BE = т.O \Rightarrow \triangle CBO$ равнобедрен правоъгълен, $OM $ - медиана $\Rightarrow OM = 12$
$\angle АМО = \angle AMC + \angle OMC = 60^\circ + 90^\circ = 150^\circ $
Построявам височината $OH \bot AM $ точка $H$ лежи на продължението на страната $AM$
Разглеждам правоъгълния $\triangle MOH : \angle OMH = 30^\circ$ (съседен на $\angle AMO = 150^\circ$)
$OH$ лежи срещу $30^\circ \Rightarrow OH = \frac{MO}{2} = \frac{12}{2} = 6$
$$S_{\triangle AMO } = \frac{AM.OH}{2} = \frac{12.6}{2} = 36 см^{2}$$