Триъгълници

[Ivana_petkova]

Зад.1. Върху страната AB на триъгълник ABC е отбелязана точка M така,че AM:MC=3:1. Ъглополовящата на ъгъл BAC пресича отсечката CM в нейната среда. Ако AC=12 cm, намерете AB.
Зад.2 Върху отсечката AB са построени в различни полуравнини правоъгълни триъгълници ABC и ABD ([tex]\angle[/tex] ACB= \angle ADB=90 ^\circ). Точката M е среда на AB. Ако \angle CBD=70^\circ ), намерете \angle CMD.
Зад. 3 Правоъгълникът ABCD има диагонал 20 cmи лице 20 кв cm. Да се намерят ъглите, които диагоналът сключва със страните на правоъгълника.

[Knowledge Greedy]

1.(Първа стъпка). Пред очите ти е собственоръчно направен чертеж, нали? А чертежът започва с основата [tex]AB[/tex] на [tex]\triangle ABC[/tex]

Отсечка разделена в отношение 3 към 1.png (1.24 KiB) Прегледано 1025 пъти

2. Що за триъгълник ще бъде такъв триъгълник [tex]\triangle MCA[/tex], чиято ъглополовяща [tex]CN[/tex] е и негова медиана?
(Точката [tex]N[/tex] e среда на [tex]CM[/tex])

- Правилно! РАВНОБЕДРЕН! При това основата му е [tex]CM[/tex]. Продължавай да чертаеш!
Бедрата на този равнобедрен триъгълник са [tex]AC[/tex] и [tex]AM[/tex] ... .
А какви са бедрата на равнобедрен триъгълник? В смисъл ... кое е ПО-ГОЛЯМО?
[tex]AC[/tex] или [tex]AM[/tex]??

Правилно! РАВНИ СА! [tex]AC=AM[/tex]

3. Значи даденото [tex]AC=12[/tex] е равно на [tex]AM[/tex], т.е.

[tex]AM=12[/tex]

Предпоследна стъпка
4. Каква част от [tex]AB[/tex] представлява намерената [tex]AM[/tex]? - пише го в началото на условието.
НО ... някой трябва да го прочете и да напише сам ...

5-та стъпка. Отговор: [tex]AB=[/tex]

[S.B.]

Зад.1. Върху страната AB на триъгълник ABC е отбелязана точка M така,че AM:MC=3:1. Ъглополовящата на ъгъл BAC пресича отсечката CM в нейната среда. Ако AC=12 cm, намерете AB.

Ще си позволя да допълня още нещо:Условието сте преписали грешно!
Вместо AM: MC = 3 : 1 е трябвало да бъде AM:MB = 3:1
Това съвсем обезмисля задачата

[Гост]

Задачата си има отговор и при едното и при другото условие.
Триъгълникът [tex]\triangle AMC[/tex] e равнобедрен и при едното , и при промененото условие.
Е, отговорът може би ще е различен.

[S.B.]

Без заглавие (87).png (206.76 KiB) Прегледано 999 пъти

Задачата си има отговор и при едното и при другото условие.
Триъгълникът [tex]\triangle AMC[/tex] e равнобедрен и при едното , и при промененото условие.
Е, отговорът може би ще е различен.

Уважаеми ГОСТ и при едното и при другото условие [tex]\triangle AMC[/tex] е ясен, но не и [tex]\triangle ABC[/tex]
Предлагам Ви чертеж за промененото условие ,а именно,че $AM : MC= 3 : 1$ Какво се случва с $MB$ ?
Нали не забравяте,че задачата е за 7 клас , а също така,че точно $AB$ се търси?

[Ivana_petkova]

Благодаря за отговорите,но не е преписано грешно условието. Дадено е отношението AM:MC=3:1. Знам как да реша задачата,когато отношението е AM:MB, но при даденото не мога. Може да е допусната печатна грешка в сборника.

[Knowledge Greedy]

Да наистина, ако AM:MC=3:1 ще ни трябва още нещо.
S.B. е направила много добър чертеж, който подсказва какво още липсва - примерно ъгъл, или страна [tex]BC[/tex]. Но най-вероятно е печатна грешка.

[S.B.]

Без заглавие (91).png (255.3 KiB) Прегледано 958 пъти

Зад.2 Върху отсечката AB са построени в различни полуравнини правоъгълни триъгълници ABC и ABD ([tex]\angle[/tex] ACB= $\angle ADB=90 ^\circ)$. Точката M е среда на AB. Ако $\angle CBD=70^\circ $, намерете $\angle CMD$.

т.$M$ - среда на $AB \Rightarrow CM $ е медиана и $CM = MB \Rightarrow $[tex]\triangle CMB[/tex] е равнобедрен.Ако $\angle CBM = \angle BCM = \varphi $ то $\angle CMA = 2\varphi$ като външен за $\triangle MCB$
Аналогично $\triangle BDM$ е равнобедрен.По условие $CBD = 70^\circ ,\angle MBC = \varphi \Rightarrow \angle MBD = \angle MDB = 70^\circ - \varphi$

$ \angle DMA = 140^\circ - 2\varphi$ като външен за $\triangle MBD$
[tex]\angle CMD = \angle CMA + \angle DMA = 2\varphi + (140^\circ - 2\varphi) = 140^\circ[/tex]

[S.B.]

Зад. 3 Правоъгълникът ABCD има диагонал 20 cmи лице 20 кв cm. Да се намерят ъглите, които диагоналът сключва със страните на правоъгълника.

Моето мнение е,че тази задача или не се отнася до 7 клас ,или има някаква грешка в условието.

[Ivana_petkova]

Зад. 3 Правоъгълникът ABCD има диагонал 20 cmи лице 20 кв cm. Да се намерят ъглите, които диагоналът сключва със страните на правоъгълника.

Моето мнение е,че тази задача или не се отнася до 7 клас ,или има някаква грешка в условието.

Моя е грешката написала съм грешно число. Лицето трябва да бъде 100 кв см. Дали по този начин е възможно да се реши задачата?
Зад. 3 Правоъгълникът ABCD има диагонал 20 cm и лице 100 кв cm. Да се намерят ъглите, които диагоналът сключва със страните на правоъгълника.

[Евва]

Зад.3 Получавам отговор 15[tex]^\circ[/tex] и 75[tex]^\circ[/tex] .
Това ли е оговора ?

[peyo]

Зад.3 Получавам отговор 15[tex]^\circ[/tex] и 75[tex]^\circ[/tex] .
Това ли е оговора ?

Не мисля, по-скоро е близо до 2.88[tex]^\circ[/tex] и 87.1[tex]^\circ[/tex]. :

diag1.png (414.65 KiB) Прегледано 934 пъти

[Евва]

Правилното условие е S=100 [tex]см.^{2}[/tex]

[peyo]

Правилното условие е S=100 [tex]см.^{2}[/tex]

Тогава изглежда е 15 и 75. ( казвам изглежда, защото не е точно постороение, а местя токата C по окръжността докато лицето стане е близко до 100).

diag1(2).png (415.33 KiB) Прегледано 927 пъти

[S.B.]

Според мен, задачата не може да се реши със знанията от 7 клас.Проблемът не е в стойността на лицето!
Да приемем,че [tex]15^\circ,75^\circ[/tex] са решенията.Нека $a$ е страна в правоъгълника.Тогава при диагонал $20$
би трябвало $sin15^\circ = \frac{a}{20} \Rightarrow a = 20.sin15^\circ$
[tex]sin^{2}15 =\displaystyle \frac{1 - cos30}{2} = \displaystyle\frac{1 - \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}}{2} = \frac{2 - \sqrt{3}}{4}[/tex]
$a = 10\sqrt{2 - \sqrt{3}}$
Спирам до тук! В 7 клас не се изучават ирационални числа.
Нито системи.Системата [tex]\begin{array}{|l} a. b = 100 \\ a^{2} + b^{2} = 20^{2}\end{array}[/tex] не е за 7 клас!

[Евва]

И аз започнах със същата с-ма , получих a=5([tex]\sqrt{6}[/tex] +[tex]\sqrt{2}[/tex]) , b=5([tex]\sqrt{6}[/tex]-[tex]\sqrt{2}[/tex])

Интересното е ,че реших зад. без да използвам тригонометрия .

Скрит текст: покажи

Може да не е за 7 клас , но зад. ми хареса.

[Евва]

Еврика !
Реших я на 3 реда-без с-ма и без ирац.числа .

[S.B.]

Без заглавие (4).png (202.51 KiB) Прегледано 871 пъти

Зад. 3 Правоъгълникът ABCD има диагонал 20 cm и лице 100 кв cm. Да се намерят ъглите, които диагоналът сключва със страните на правоъгълника.

Нека [tex]DH \bot AC , S_{ABCD } = 2.S_{ACD } \Leftrightarrow 2.\frac{AC.DH}{2} = 100 \Leftrightarrow 20.DH = 100 \Rightarrow DH = 5[/tex]
Разглеждам $\triangle DHO$ - правоъгълен , $DH = 5 , DO = \frac{AC}{2} = 10 \Leftrightarrow DH = \frac{1}{2}OD \Rightarrow \varphi = 30^\circ$
В равнобедрения $\triangle AOD \rightarrow \alpha = \frac{180^\circ - \varphi}{2} = \frac{150}{2} = 75^\circ \Rightarrow\angle BAC = 90^\circ - 75^\circ = 25^\circ$

[Евва]

Зад.3

Скрит текст: покажи

1 ред на моето решение съвпада с 1 ред на р-то на S.B.

Разглеждам [tex]\triangle[/tex]ACD-правоъгълен, при който височината DH към хипотенузата
е 4 пъти по-малка от хипотенузата АС.

От Т [tex]\Rightarrow[/tex] един от ъглите в [tex]\triangle[/tex]ACD е 15[tex]^\circ[/tex] т.е. [tex]\angle[/tex]ACD=[tex]\angle[/tex]BAC=15[tex]^\circ[/tex]

([tex]\triangle[/tex]ACD) [tex]\angle[/tex]DAC+[tex]\angle[/tex]ACD+[tex]\angle[/tex]CDA=180[tex]^\circ[/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]DAC=180[tex]^\circ[/tex]-15[tex]^\circ[/tex]-90[tex]^\circ[/tex]=75[tex]^\circ[/tex]

[S.B.]

Зад.3

Скрит текст: покажи

1 ред на моето решение съвпада с 1 ред на р-то на S.B.

Разглеждам [tex]\triangle[/tex]ACD-правоъгълен, при който височината DH към хипотенузата
е 4 пъти по-малка от хипотенузата АС.

От Т [tex]\Rightarrow[/tex] един от ъглите в [tex]\triangle[/tex]ACD е 15[tex]^\circ[/tex]

Вярно,само,че в 7 клас не се изучава тази теорема.Изучава се само теоремата за катет който лежи срещу ъгъл от [tex]30^\circ[/tex]

[HolidayUniverse]

Зад.3

Скрит текст: покажи

1 ред на моето решение съвпада с 1 ред на р-то на S.B.

Разглеждам [tex]\triangle[/tex]ACD-правоъгълен, при който височината DH към хипотенузата
е 4 пъти по-малка от хипотенузата АС.

От Т [tex]\Rightarrow[/tex] един от ъглите в [tex]\triangle[/tex]ACD е 15[tex]^\circ[/tex]

Вярно,само,че в 7 клас не се изучава тази теорема.Изучава се само теоремата за катет който лежи срещу ъгъл от [tex]30^\circ[/tex]

Понеже сега завърших 7 клас, искам да кажа , че в моето училище ( не е математическа паралелка) учихме теоремата в час по ИУЧ,дори я имахме на тестове.Имаше я в сборниците които използвахме , мисля че дори я имаше в учебника като основна задача.

[S.B.]

В учебника за 7 клас са залегнали единствено ТЕОРЕМА за катет лежащ срещу ъгъл от [tex]30^\circ[/tex] и обратната теорема.
Ако някъде допълнително сте изучавали това като теорема или основна задача - това е друг въпрос.

[nick]

Без заглавие (4).png

Зад. 3 Правоъгълникът ABCD има диагонал 20 cm и лице 100 кв cm. Да се намерят ъглите, които диагоналът сключва със страните на правоъгълника.

Нека [tex]DH \bot AC , S_{ABCD } = 2.S_{ACD } \Leftrightarrow 2.\frac{AC.DH}{2} = 100 \Leftrightarrow 20.DH = 100 \Rightarrow DH = 5[/tex]
Разглеждам $\triangle DHO$ - правоъгълен , $DH = 5 , DO = \frac{AC}{2} = 10 \Leftrightarrow DH = \frac{1}{2}OD \Rightarrow \varphi = 30^\circ$
В равнобедрения $\triangle AOD \rightarrow \alpha = \frac{180^\circ - \varphi}{2} = \frac{150}{2} = 75^\circ \Rightarrow\angle BAC = 90^\circ - 75^\circ = 25^\circ$

Накрая [tex]90 - 75 = 15 ^\circ[/tex]. Допуснала си печатна грешка. Но всеки прави такива рано или късно.