Ъглополовящата през C на ABC

[innamorata]

Ъглополовящата през C на триъгълник ABC пресича страната AB в точка L. Да се докаже, че ако ъгъл BAC < ъгъл ABC, то AL > BL.

[strangerforever]

Еее, срещу по-голям ъгъл - по-голяма страна в триъгълника, не си ли го учил?
AL = \frac{bc}{a+b }
BL = \frac{ac}{a+b }

от свойство на ъглополовящата
Трябва да докажем че \frac{bc}{a+b } > \frac{ac}{a+b } < = > b > a.
А щом ъгъл БАЦ < ъгъл АБЦ, значи срещу БАЦ страната е по-малка от тази, срещу АБЦ. Срещу БАЦ - a, срещу АБЦ - b.
=> a < b.

[martin123456]

задачата е за 7ми клас

[strangerforever]

Да, съжалявам, не съобразих, че е за 7-ми клас, извинявам се.

[martin123456]

ето за остроъгълен
за [tex]\angle B > 90^\circ[/tex] е аналогично
[tex]LH \bot AC[/tex], [tex]LY \bot BC[/tex]. знаем [tex]LX=LY[/tex]. нанасяме [tex]M[/tex] на лъча [tex]YB[/tex] (тя е вън, понеже [tex]\angle B > \angle A[/tex]), че [tex]\angle LMY=\angle XAL[/tex]. значи [tex]\Delta AXL[/tex] и [tex]\Delta MYL[/tex] са еднакви. => [tex]AL=LM[/tex]. в [tex]\Delta LBM[/tex] [tex]\angle B[/tex] е тъп => [tex]LM > LB[/tex]=>[tex]AL>LB[/tex]

[ganka simeonova]

ясно е, е [tex]AC>BC=>[/tex] в/у АС може да изберем т.D, така че [tex]CD=CB[/tex]. Тогава от еднаквите [tex]\Delta DLC; BLC=>LD=LB[/tex]
Идеята е, да док, че [tex]DL<AL[/tex]
[tex]\angle ADL=180^\circ -\angle B>\angle A=>\angle ADL>\angle DAL=>DL<AL[/tex]